Второй этап - аксиоматизация арифметики

Второй этап - аксиоматизация арифметики. Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести указав правила перехода из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начинают Дедекинд и Грассман, а завершает Пеано. Выделив три основных понятия натуральное число, следование одного числа непосредственно за другим, начальный член натурального ряда - 0 или 1 Пеано связал их пятью аксиомами. 1 1 есть натуральное число 2 Следующее за натуральным числом есть натуральное число 3 1 не следует ни за каким натуральным числом 4 Если натуральное число b следует за натуральным числом a и за натуральным числом c, то a и c тождественны.

Несколько забегая вперед, можно заметить, что эта аксиома выступает как проявление более общей, логической аксиомы функциональности aRbcRb a c, то есть если предметы a и c одинаково относятся к b, то a и c есть один и тот же предмет.

Скажем, если Петр - брат Елены и Сергей - брат Елены, то Петр и Сергей - братья. Типично дедуктивное умозаключение на основе суждений с отношениями. Наконец, аксиома 5 Если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно и для следующего за n натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Итак, арифметика аксиоматизирована. Следующий шаг программы - определение исходных понятий аксиоматизированной арифметики в терминах логики, а аксиом - как теорем логики. Понадобился специальный логический аппарат. Он создавался ранее. Первые идеи принадлежат Р. Декарту XVII в рассматривавшего математику как частный случай исчисления общего формально-логического метода. Г. Лейбниц в книге Искусство комбинаторики говорит о введении универсального языка науки, функционирующего на основе целесообразно подобранной символики и предназначенного для проведения рассуждений Язык предполагает, по Лейбницу, указание списка всех элементарных понятий алфавит человеческих мыслей, основных отношений между понятиями и правил комбинаций с этими символами. Затем Лейбниц развивает идеи, близкие понятиям символической логики например, вводит логическое умножение и сложение. В середине XIX в. Д. Буль создает алгебру логики, а де Морган формулирует принципы логики высказываний и логики классов.

Использовать этот аппарат в интересах логицизма и пытается Г. Фреге. Он же формулирует программу логицизма.

Проводится следующая цепь доказательств. Математика покоится на логике не на эксперименте, ибо ее доказательства - апелляция не к опыту, а к возможности процедуре логического выведения одного предложения из других. Что же касается самой логики, то ее утверждения, по мнению логицистов, формальны, они ничего не говорят о мире и представляют аналитические высказывания, тавтологии.

Их истинность зависит не от содержания, но лишь от формы, оттого они истинны во всех возможных мирах. Таким образом, логику можно изложить в виде исчисления, построив формализованный логический язык. Тогда, поскольку математика - часть логики, выдвигается программа представив логику как исчисление, вывести из ее аксиом все положения чистой математики и все понятия последней описать посредством логических понятий для чего и необходимо было выразить ее в минимуме исходных терминов и положений. В результате понятия математики оказываются понятиями логики 1 аксиомы математики - доказуемыми теоремами логики 2 устанавливаются правила вывода для получения из логических положений предложений математики 3 . В соответствии с программой, предстояло определить в терминах логики понятие числа и операций над числами.

В основе логического подхода к числу лежит идея взаимнооднозначного соответствия. Это позволяет установить равенство двух и более множеств по количеству элементов, не прибегая к математической операции их пересчитывания и пользуясь просто методом сопоставления элементов одного множества элементам другого.

Если удается установить полное однозначное соответствие, то множества эквивалентны. Так, множество сторон света эквивалентно множеству углов равностороннего прямоугольника, а также эквивалентно множеству букв в слове вода. Можно говорить о множестве всех таких эквивалентных между собой множеств, имя которому - четыре.

Отсюда любое число есть множество всех множеств, которые эквивалентны между собой. Фреге интерпретировал натуральные числа как кардинальные числа некоторых понятий. Кардинальное то есть не порядковое, а количественное число иначе говоря мощность понятия F определялось как сокращение для объема понятия, равночисленного с понятием F . Например, все понятия с единичным объемом скажем, столица Франции, автор романа Жерминаль подпадают под одно понятие с кардинальным числом 1, то есть его мощность равна мощности класса 1, все понятия с кардинальным числом 2 находятся во взаимнооднозначном соответствии, образуя число 2 и т.д. Таким образом, число есть класс всех возможных его реализаций.

Так же логически определяются арифметические операции сложение, объединение дизъюнкция a b aUb, умножение как отыскание общих элементов конъюнкция aTb ab. Необходимо отметить только, что в логике эти операции подчинены принципу идемпотентности сохранения степени, который в математике нарушается. 4.1.3.