Принцип дихотомии знания - раздел Философия, ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ
Научное Знание Разбивают По Способу Установления Истины На Дв...
Научное знание разбивают по способу установления истины на два взаимоисключающих класса – по принципу дихотомического деления (от греч. dicha и tome – сечение на две части), когда основанием деления берется не вариация какого-либо свойства, а его наличие или отсутствие, например «белый» – «не-белый», то есть белый и все остальные цвета.
Речь идет о фактуальном и формальном видах знания. Факту-альное знание несет сведения о мире и характеризуется тем, что поддается эмпирической проверке (верификации) на истинность. Формальное же знание есть знание собственной структуры, структуры своего языка. Оно фиксировано в системах, представляющих неинтегрированное содержательно исчисление, выражения которого (формулы) задаются посредством принятия исходных формул и правил вывода (преобразования) из исходных формул всех остальных, допустимых в данной системе. Это математика и логика. Здесь истинность определяется не соответствием высказывания некоторому эмпирическому состоянию дел, а соответствием элементов, частей и т.п. знаковой системы друг другу.
Желание разделять фактуальное и формальное знания отмечено традицией. Г. Лейбниц говорил соответственно об истинах факта и истинах разума. Д. Юм – о положении вещей и отношении идей. И. Кант впервые перевел обсуждаемую проблему в языковой план, предложив виды синтетических и аналитических суждений. Дальнейший импульс теме придал позитивизм, развив идею синтетических суждений как эмпирических предложений наблюдения, противопоставив их суждениям на основе конвенции по правилам языка. Окончательно устанавливаются два аспекта знаковых отношений – семантика и синтаксис. В современной логико-методологической литературе используются термины «синтетический» и «аналитический», которые и обозначают соответственно фактуальное и формальное знания, поскольку проблема переведена в чисто языковую плоскость. Синтетичность выражает апелляцию к внеязыковой реальности, применительно к математике это ее «внешний» язык. Аналитичность проявляется как внимание к внутренним вопросам знаковых систем, к правилам, регулирующим операции со знаками, то есть как обращение к синтаксису языка, составляющему область внутриматематических проблем, исключая решение проблем отношения математических объектов к тому, что они отражают (и отражают ли вообще что-либо) во внешнем мире.
Будучи регионом формального знания, математика соответственно определяет и свой подход к истине как внутренней самосогласованности (когеренции) компонентов языка. Возьмем выражение «5+7= 12». Оно истинно. Но не потому, что мы выделили 5 предметов, прибавили к ним еще 7 предметов и получили 12, а благодаря структуре этого выражения, где левая часть равенства тождественна правой.
Аналогично и в логике. Возьмем высказывание «Сейчас на дворе дождь идет, либо он не идет». Это предложение истинно независимо от того, какая сейчас погода и в этом смысле оно не содержит информации о мире. Получив подобное сообщение, я не узнаю, как мне поступить: надеть ли плащ, взять зонтик или можно обойтись без них. Здесь, как и в математике, истина обусловлена структурой знания, в частности, в нашем случае – законом исключенного третьего a v ā, где а – произвольное утверждение, ā – его отрицание, а v – знак строгой дизъюнкции, разделительного «или».
Высказывания формального вида не верифицируемы, чем они и отличаются от фактуального знания. Однако утверждая, что формальное знание не несет информации о мире, следует отметить одно обстоятельство.
Логические и математические структуры знания, оцениваемые как истинностные, являются таковыми с точки зрения законов нашего мира. Но не исключены другие миры, где действуют иные законы и имеют место иные структурные построения, задающие необычные для нашего мира истины. Опыт неэвклидовых пространств, теории относительности, квантовой механики показал, что указанная ситуация возможна; во всяком случае, подобные структуры с необычными истинностными параметрами логически допустимы. Из этого следует, что и формальное знание обладает информацией о мире, хотя в настоящее время оно не характеризуется разнообразием в качестве критерия (одного из критериев) информативности сообщения.
В связи с этим примечательна оценка Л. Витгенштейном логических тавтологий (от греч. tauto – то же самое, logos – слово). Это выражения, которые повторяют ранее выказанное, но в иной словесной форме или повторение в предикате того, что было выражено в субъекте. В математической логике тавтология – это тождественно-истинное высказывание. Поскольку приписывание предиката субъекту не прибавляет ничего нового, тавтология и не способна нести информацию о мире. Однако вот как характеризует ее, по мнению В. Суровцева, Витгенштейн: «Тавтологии не говорят ничего, но они нам показывают свойства универсума в целом, задавая все возможные упорядоченные связи знаков, которые появляются в единстве условий истинности описания мира»1.Таким образом, будучи структурами формального знания, тавтологии вместе с тем выступают в качестве форм информативного содержания.
Особенность формального знания предопределяет и характер его организации в системы. Они строятся, можно сказать, «сверху», вне какого-либо согласования с эмпирией, а путем задания исходных знаков и правил, согласно которым образуются их сочетания в высказывания (формулы), допустимые на языке данной теоретической системы. В силу отмеченного формальная теория понимается как совокупность высказываний, замкнутых относительно выводи-
мости, то есть очерченных границами, определяемыми типом структур, разрешимых теоретической сеткой. В пределах последней возможны лишь такие формулы, которые получены в качестве следствий из ее исходных структур.
Рассмотренные структурные особенности формальных теорий составляют круг проблем «внутреннего» языка математики, его синтаксиса, то есть отношения знака к знаку. Вместе с тем у любой теории есть, как мы уже отмечали, «внешние» проблемы – ее отношение к реальности. И хотя математик, решая «внутренние» вопросы, должен отвлечься от внешнего мира, он не может не испытывать определенного воздействия этого мира, идущие по линии запросов естествознания, производства, экономических тем, задач прогнозирования. Откликаясь на них, он переводит «внешние» задания на свой «внутренний» язык и строит исследования как нечто замкнутое в себе, как работу со знаками по правилам математических исчислений.
Поэтому отдельный ученый и целые разделы математики могут никак не проявлять заинтересованности в немедленном обслуживании внешних нужд. Однако математика в целом, математика как раздел человеческой деятельности, безусловно, этот интерес сохраняет, ибо в нем ее рациональное оправдание. Более того, часто и в случае отдельных математических теорий и теоретиков дело обстоит так, что, получив результат, автор тут же пытается найти ему объяснение на области реальных отношений.
Так математика переходит от одного языка к другому: от «вещного» – к внутриматематическому. Затем, усовершенствовав последний, снова обращается ук внешнему миру, поверяя в нем полученные построения. Математика совершенствует свой аппарат, методы не ради только себя самой, но и чтобы удовлетворить запросы общества. Она шлифует «внутренний» язык, чтобы увереннее выходить во внешнее пространство. Внутренняя жизнь, так сказать, контролируется извне. Поэтому, как образно пишет Г.Штейгауз, при появлении нового раздела математики стиль обычно бывает классическим, когда же он обретает симптомы перерождения в вычурный язык барокко, это следует расценивать как сигнал опасности. И единственный способ исцеления состоит в том, чтобы возвратиться к источнику, то есть впрыснуть более или менее эмпирическую идею.
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... А К Сухотин...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Принцип дихотомии знания
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Определение философии. Разброс значений
Существует масса определений философии: от попыток, отлучающих ее от корпуса наук, до признания философии наукой наук.
Распространено убеждение (и не только по причине пред
Функции философии в их отношении к математике
Обычно выделяют два функциональных назначения философии – мировоззренческое и методологическое. Под мировоззрением понимается взгляд на мир и определение места человека в мире.
Философия в математике. Констатации и оценки
Тезис о взаимных влияниях математики и философии хотелось бы подкрепить высказываниями самих ученых.
Еще Платон считал математику необходимым введением в философию. Недаром
Математический объект как абстракция от абстракции
Нередко особенность математического знания видят в том, что оно оперирует понятиями высокой степени абстрактности, благодаря чему его объекты носят очень общий характер, выражая сам
Математика – наука об отношениях
Лишая свои объекты каких-либо вещественных характеристик, абстрагируясь от любых материальных, природных свойств, математика все же что-то им оставляет, иначе она не могла бы соотно
Проблема свободы математического творчества
Определив математику как науку об отношениях, немедленно сталкиваемся с вопросом, а чем или, может быть, кем задаются отношения?
В естествознании отношения, то есть законы
Знак и значение
Специфика математики, ее объектов остро задевает вопрос о математических знаках. Что они обозначают, что за ними скрывается? Мы выходим к общей проблеме – знак и значение, как они п
Проблема существования математического объекта
Этот вопрос закономерен в силу специфики математики, не являющейся описанием вещей. Венгерский математик А. Реньи ставит проблему так. Врач изучает болезни, астроном – звезды и т.п.
Концепция языковых каркасов Карнапа и два языка математики
Любая научная теория оперирует, как уже отмечалось, не непосредственно объектами природы, а их концептуальными отображениями в понятиях. Последние находятся поэтому в двойном подчин
Математика и объективный мир. Пифагорейский синдром
Выключение философского аспекта при решении собственно математических проблем не означает отказа вообще обсуждать философские темы математики, ее языка. Надо только не привносить од
Математика как язык науки
Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки
Математическая методология
Место математики в системе наук определяется также тем, что она' играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, г
Понятие обоснования математики
Под обоснованием математики понимают демонстрацию возможности существования объектов ее теории и возможной истинности предложений об этих объектах. Иначе говоря, это вопрос о соотно
Программа логицизма
Лидеры логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел и др.) видели основания математики в логике. Вообще, возможны четыре типа соотношения математики и логики: 1) математика – часть логики; 2) лог
Этап арифметизации.
По существу, он был завершен до появления программы логицизма, однако, как выяснилось позднее, работал на нее. В известной мере это относится и к этапу аксиоматизации арифметики, хотя проводивший в
Второй этап – аксиоматизация арифметики.
Далее встает задача представить в минимуме понятий сам натуральный ряд, то есть вывести (указав правила перехода) из исходных, простейших элементов всю совокупность целых чисел. Аксиоматизацию начи
Причина неудач
Выполнение замысла логистов близилось к концу: оставалось лишь выровнять шероховатости, чем и занялся Г. Фреге, который, как пишут авторы известной книги «Основания теории множеств»
Философская оценка
В реализации логицистской программы ее творцы то и дело выходили на философию, без привлечения которой процедура сведения математики к логике выглядела незавершенной и сами логическ
Интуитивистская альтернатива
Все беды обоснования интуиционизм видит не собственно в логике (в несовершенстве ее аппарата), а в самой математике и именно в неточном использовании ее понятий, прежде всего – поня
Ограниченность интуиционизма
Логико-математические идеи интуиционистов тесно переплетены с известными философскими установками, которые выдают их во многом односторонне-субъективное происхождение.
Поск
Конструктивная ветвь
Попытки спасти интуиционистские идеи и начинания, развить далее оригинальные и продуктивные мысли предприняли сторонники конструктивного течения. Продолжая традицию интуиционистског
Программное заявление
Кризисные явления в математике, заставившие обратиться к ее обоснованиям, и трудности, вставшие перед логицистами, породили наряду с интуиционизмом еще одно течение – формализм. Пер
Результаты Геделя
В 1931 г. 25-летний австрийский математик Венского университета Курт Гедель (позднее, после аншлюса, эмигрировавший в США) доказал теоремы, из которых следовало, что программа Гильб
Это предложение недоказуемо.
Допустим, что данное предложение ложно. То есть неверно, что оно недоказуемо. Следовательно, оно доказуемо. Притом оно истинно, поскольку, допустив, что оно ложно, мы получим противоречие. Но от эт
Итоги исканий
Анализ рассмотренных основных направлений философского обоснования математики показывает, что ни одно из них не принесло удовлетворяющего решения. Вместе с тем каждое, внося что-то
Новые подходы
Были отмечены результаты, полученные ведущими течениями в области обоснований математики. Но это, так сказать, содержательный аспект исканий. Вместе с ним наметилось и другое.
Обоснование в свете эволюции математики
Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категори
Истина в формализованных языках
Современные подходы к проблеме истины наряду с традиционной гносеологической истиной (соответствие объекту вне нас) выделяют также онтологическую (истина бытия, то есть его изначаль
Критерий выводимости и понятие корректности
Являясь совокупностью формализованных языков, математика представляет собой область, в которой реализуется разработанное А. Тарским понятие истины. Напомним, что это так называемый
Математика и методы схоластики
В характере математического строя мышления и в принципах схоластических рассуждений есть немало общих черт. Мы уже отмечали ранее их тематические точки касаний. Здесь хотелось бы ос
Математическое доказательство
Теория доказательства разработана в логике и включает три структурных компонента: тезис (то, что предполагается доказать), аргументы (совокупность фактов, общепринятых понятий, зако
Принципы построения дедуктивных теорий
Дедуктивный путь рассуждения как выведение отличается от индуктивного как наведения (от лат. inductio) рядом особенностей.
Дедуктивный вывод является принудительным, его пр
Критерии «внешнего» оправдания
Как и любая наука, математика руководствуется определенными критериями принятия оперируемыми высказываниями в качестве истинных. Необходимо говорить о внутренних и внешних оправдани
Вторичные показатели истины
В силу особой природы математики, где эмпирические критерии истины не участвуют в поиске, их оправдательная функция реализуется, как мы пытались это осветить в последнем параграфе п
Критерии «внутреннего совершенства». Эвристика
Далее мы хотели бы рассмотреть эвристические возможности вторичных показателей истины. Эвристика (от греч. «эврика» – Я нашел) – наука о вспомогательных, дополнительных к основным (
Quot;x(Sx®Px) ® (Px®Sx).
Однако, как нами уже отмечено, подобное умозаключение некорректно. Проиллюстрируем это более прозрачным примером: на основании того, что, скажем, все космонавты спортсмены, вовсе не следует, что вс
Базисные определения. Расстановка позиций
Творческая деятельность математика осуществляется в режиме логического и интуитивного поиска, которые сочетаются на основе принципа дополнительности в боровском смысле.
По
Понятие формализации
Под формализацией понимается специфический прием исследования, назначение которого состоит в том, чтобы уточнять знание посредством выявления его формы (способа организации, структу
Эвристика. Формализация как прием получения нового знания
Наличие глубокого единства формы и содержания, фактов перехода одного в другое и становится основанием использовать процедуру формализации как прием, как метод выявления нового соде
Границы и издержки формализации
Рекомендуя метод формализации к методологическому использованию, стоит отметить некоторые негативные сопровождения, характеризующие этот прием.
Прежде всего, напомним о рез
Проблемная ситуация и алгоритм метода
Обратимся еще к одному методу, широко применяемому в математическом творчестве. Более того, своими корнями он уходит в математику, появившись именно в ней и находя в ней наиболее ад
Преимущества общего подхода
Почему же разработка общих методов оказывается столь эффективной?
Вначале уточним, что имеют в виду, говоря об общем в науке, познании. Общее – не просто свойство, присущее
Эвристика
Метод обобщающей переформулировки проблемы может выступать эффективным эвристически-вспомогательным орудием математического поиска, подспорьем в научных поисках. В трудах математико
В СОЦИАЛЬНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Математика занимает особое место в системе общественных ценностей.
По существу она во все времена определяла лицо науки, ибо, как заметил А. Пуанкаре, окончательная идеальн
МАТЕМАТИКА: СПЕЦИФИКА, МЕСТО В СТРУКТУРЕ НАУКИ
Глава 1. Предметная область философии математики 5
1. Определение философии. Разброс значений 5
2. Функции философии в их отношении к математ
ФИЛОСОФСКИЕ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
Глава V. Проблемы обоснования математики и ее решение логицизмом 72
1. Понятие обоснования математики 72
2. Программа логицизма 76
3
Новости и инфо для студентов