Реферат Курсовая Конспект
Второго порядка - раздел Философия, ПЛАНИРОВАНИЕ И ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА Ортогональным Планом Называется Такой План, У Которого Матриц...
|
Ортогональным планом называется такой план, у которого матрица планирования Х строится так, что бы матрица С=ХtХ оказалась диагональной. Используем этот подход и при построении планов второго порядка.
При ортогональных факторных планах каждый фактор варьируют симметрично относительно начала координат на двух уровнях. Этого достигают, принимая верхний уровень + 1, а нижний -1. При таком нормировании факторов обеспечиваются упрощения последующих вычислений. При этом число различных экспериментов N, определяемое числом всех неповторяющихся комбинаций, которые можно составить из k рассматриваемых независимых переменных, имеющих по два уровня, будет N - 2k. Таким образом, если осуществить все 2* возможных и неповторяющихся. Значимость коэффициентов проверяют по t-критерию Стьюдента, для чего сначала определяют статистический критерий , а затем значимость сравнивают с табличным значением tTa6jI, взятым из таблицы t-распределения Стьюдента по вероятности проверяемой гипотезы р и количеству степеней свободы, с которым определялось . Если для каждого коэффициента t > tTa6jI, то они все значимы. Затем определяют доверительные интервалы для каждого из коэффициентов по формуле
После интерпретации модели экспериментатор принимает решение о проведении дальнейших исследований. Для этого вначале устанавливают, в какой мере каждый из факторов влияет на параметр оптимизации У. Знак плюс при коэффициенте свидетельствует, что с увеличением значения фактора растет Y, при знаке минус - увеличение значения фактора приводит к уменьшению параметра оптимизации У.
Если линейная модель адекватна, а все коэффициенты незначимы (кроме 60) (чаще всего это происходит вследствие большой ошибки эксперимента или узких интервалов варьирования), то необходимо увеличить точность эксперимента, расширить интервалы варьирования. Если линейная модель неадекватна, это значит, что не удается аппроксимировать поверхность отклика плоскостью. В этом случае изменяют интервалы варьирования, выбирают другую точку в качестве нулевого уровня, либо используют нелинейную модель и весь цикл повторяют.
План называется центральным, если все точки расположены симметрично относительно центра плана. ОЦКП – центральный симметричный ортогональный композиционный план.
В ОЦКП входят: ядро - план ПФЭ с N0= 2n точками плана, n0 (одна для этого плана) центральная точка плана и по две “звездные” точки для каждого фактора
, , , , .
– плечо “звездных” точек.
При этом в каждой плоскости, содержащей ось Y и координатную ось i-того фактора (проходящей через центр плана), оказываются три значения фактора хi и три соответствующих значения Y.
Общее количество точек в плане ОЦКП составляет
,
где для ОЦКП n0=1.
При n > 2 в ОЦКП оказывается меньшее количество точек, чем в плане ПФЭ 3n .
Число точек в плане
n | |||||
ОЦКП | |||||
ПФЭ |
Графическое представление ОЦКП для n=3 приведено на рис. 36.
Рис. 36. ОЦКП при n=3
Для ортогонального плана необходимо, чтобы выполнялось соотношение
.
Так как , то для столбцов j=1, 2,…., m+1 должно выполняться условие
.
Это означает необходимость выполнения требования, чтобы сумма элементов любого столбца (кроме j=0), включая столбцы, соответствующие квадратам фактора, должна быть равна нулю. Это возможно, если члены столбцов, соответствующих квадратам факторов, преобразованы, иначе сумма квадратов факторов не может быть равна нулю.
Преобразование элементов этих столбцов осуществляется в виде
,
где а – величина, зависящая от числа факторов.
Сумма элементов столбца, соответствующего квадратам факторов
.
Откуда
.
В общем случае ортогональный центрально-композиционный план при трех (n) факторов имеет следующий вид
U | x0 | x1 | x2 | x3 | x1x2 | x1x3 | x2x3 | x1x2x3 | x4= x12-a | x5= x22-a | x6= x32-a | Y | |
Точки плана ПФЭ 23 (N0=2n точек) | +1 | -1 | -1 | -1 | +1 | +1 | +1 | -1 | 1 – a | 1 – a | 1 – a | Y1 | |
+1 | +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | +1 | +1 | 1 – a | 1 – a | 1 – a | Y2 | ||
+1 | -1 | +1 | -1 | -1 | +1 | -1 | -1 | 1 – a | 1 – a | 1 – a | Y3 | ||
+1 | +1 | +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | -1 | 1 – a | 1 – a | 1 – a | Y4 | ||
+1 | -1 | -1 | +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | 1 – a | 1 – a | 1 – a | Y5 | ||
+1 | +1 | -1 | +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | 1 – a | 1 – a | 1 – a | Y6 | ||
+1 | -1 | +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | +1 | 1 – a | 1 – a | 1 – a | Y7 | ||
+1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | -1 | 1 – a | 1 – a | 1 – a | Y8 | ||
Звездные точки 2n точек | +1 | -α | α2 – a | -a | -a | Y9 | |||||||
+1 | + α | α2 – a | -a | -a | Y10 | ||||||||
+1 | -α | -a | α2 – a | -a | Y11 | ||||||||
+1 | + α | -a | α2 – a | -a | Y12 | ||||||||
+1 | -α | -a | -a | α2 – a | Y13 | ||||||||
+1 | + α | -a | -a | α2 – a | Y14 | ||||||||
Нулевая точка | +1 | -a | -a | -a | Y15 | ||||||||
- | N | ||||||||||||
- | N | 2n+2a2 | 2n | 2n(1-a)2+2(a2-a)2+ +a2(2n-2) +n0a2 |
В ОЦКП каждый фактор фиксируется, в общем случае, на пяти уровнях (-, -1, 0, 1, +).
Для определения неизвестных “а” и “” нужно сформировать и решить систему из двух уравнений. Одно из них для “а” мы записали раннее. Другое уравнение получим из условия ортогональности для столбцов и
.
После простейших преобразований с учетом того, что – общее число опытов в плане, получаем соотношение
.
Соотношение для а при j=1, 2 или 3 может быть записано как (см. план)
.
Подставив его в последнее уравнение получаем
,
откуда константа преобразования а
.
Тогда
и плечо звездных точек
.
Например, для ОЦКП при числе факторов n=3 имеем следующие параметры плана
, ,
; ,
, , .
Сам план принимает вид
U | x0 | x1 | x2 | x3 | x1x2 | x1x3 | x2x3 | x1x2x3 | x4= x12-a | x5= x22-a | x6= x32-a | Y | |
Точки плана ПФЭ 23 (N0=2n точек) | +1 | -1 | -1 | -1 | +1 | +1 | +1 | -1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | Y1 | |
+1 | +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | +1 | +1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | Y2 | ||
+1 | -1 | +1 | -1 | -1 | +1 | -1 | -1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | Y3 | ||
+1 | +1 | +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | -1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | Y4 | ||
+1 | -1 | -1 | +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | Y5 | ||
+1 | +1 | -1 | +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | Y6 | ||
+1 | -1 | +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | +1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | Y7 | ||
+1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | -1 | 0,27 | 0,27 | 0,27 | Y8 | ||
Звездные точки 2n точек | +1 | -1,215 | 0,75 | -0,73 | -0,73 | Y9 | |||||||
+1 | + 1,215 | 0,75 | -0,73 | -0,73 | Y10 | ||||||||
+1 | -1,215 | -0,73 | 0,75 | -0,73 | Y11 | ||||||||
+1 | + 1,215 | -0,73 | 0,75 | -0,73 | Y12 | ||||||||
+1 | -1,215 | -0,73 | -0,73 | 0,75 | Y13 | ||||||||
+1 | + 1,215 | -0,73 | -0,73 | 0,75 | Y14 | ||||||||
Нулевая точка | +1 | -0,73 | -0,73 | -0,73 | Y15 | ||||||||
- | N | ||||||||||||
- | N | 2n+2a2 | 2n | 2n(1-a)2+2(a2-a)2+ +a2(2n-2) +n0a2 |
Очевидно, что план является ортогональным. В отличие от планов ПФЭ для ОЦКП сумма квадратов факторов разных столбцов не является одинаковой.
По результатам опытов плана формируется полином
.
Коэффициенты полинома определяется как
.
Можно преобразовать полином к виду
,
где
.
Значения параметров ОЦКП при числе факторов n
n | |||||||
α | 1,125 | 1,414 | 1,596 | 1,761 | 1,909 | 2,045 | |
a | 0,667 | 0,73 | 0,8 | 0,86 | 0,91 | 0,946 | 0,968 |
N |
При n =2 ОЦКП совпадает с планом ПФЭ 23. Звездные точки ОЦКП в этом случае лежат на границах варьирования факторов. Если точки плана ПФЭ 2n всегда лежат на окружности (поверхности шара, гипершара), то точки плана ОЦКП не лежат на какой-либо одной окружности (поверхности шара, гипершара). План ОЦКП не является насыщенным. Так, например, для n = 3 полином имеет одиннадцать членов со своими коэффициентами, но для их определения используются пятнадцать опытов.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Государственное образовательное учреждение... Высшего профессионального образования... МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕКСТИЛЬНЫЙ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Второго порядка
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов