Однорідна плоска хвиля, що розповсюджується у довільному напрямку.

 

Відомо, що комплексні амплітуди однорідної плоскої хвилі, які розповсюджується в однорідному середовищі у напрямку , визначаються виразами

 

, (7.17)

 

де – комплексна амплітуда у початку координат (z=0);

– стала розповсюдження;

– характеристичний опір.

Перетворимо (7.17) для випадку, коли хвиля розповсюджується у довільному напрямку , який утворює з осями координат x, y, z кути (рис. 7.3), тобто

 

. (7.18)

 

Виберемо довільну точку спостереження М(x, y, z) (рис. 7.3) на поверхні рівних фаз S=const, яка характеризується радіусом-вектором r, проведеним з початку координат до розглядуваної точки:

 

. (7.19)

 

Опустимо з точки перпендикуляр МА на напрямок . Вектори поля хвилі, яка розповсюджується у напрямку будуть однаковими у точці М і А, через те, що ці точки лежать на одній хвильовій поверхні. Якщо позначити ОА=S, то в точці М комплексні амплітуди і визначаться з використанням (7.17) співвідношеннями

 

. (7.20)

 

S представляє собою проекцію радіуса-вектора (7.19) точки М(x, y, z) на напрямок і визначиться як скалярний добуток

 

. (7.21)

 

Підставивши (7.21) у (7.20) отримаємо

 

. (7.22)

 

 

7.3 Падіння плоскої електромагнітної хвилі на діелектричний напівпростір під довільним кутом.

 

Розглянемо загальний випадок, коли плоска електромагнітна хвиля, розповсюджуючись у середовищі 1 падає на межу розділу із середовищем 2 під деяким кутом , що лежить в межах . Геометрія задачі і орієнтація координат показані на рис. 7.4.

Площина падіння співпадає з площиною YOZ, а межа розділу з XOY. Введемо три хвилі – падаючу, відбиту і заломлену. Вектори Пойнтинга всіх хвиль лежать у площині падіння. Кут j між напрямком розповсюдження падаючої хвилі і нормаллю до поверхні розділу називають кутом падіння. Відповідно: кут між нормаллю і відбитою хвилею називається кутомвідбиття; кут між хвилею, що пройшла і нормаллю – кутом заломлення.

Щоб записати поля падаючої, відбитої і хвилі, яка пройшла, необхідно у вибраній системі координат визначити кути і відповідні їм напрямляючі косинусів (рис. 7.4)

Для падаючої хвилі:

 

. (7.23)

 

Для відбитої хвилі:

 

. (7.24)

 

Для хвилі, що пройшла:

 

. (7.25)

 

Визначимо коефіцієнти відбиття і заломлення у випадку похилого падіння ПЕХ (коефіцієнти Френеля), вважаючи, що падаюча хвиля задана. Результат буде залежати від поляризації падаючої хвилі. Розглянемо окремо дві ортогональні поляризації.

Нормальне падіння (перпендикулярна поляризація). Вектор перпендикулярний площини падіння (рис. 7.4).

Комплексні амплітуди векторів напруженості електричного і магнітного полів для нормально поляризованої ПЕХ будуть мати вигляд:

– електричне поле

 

, (7.26)

 

– магнітне поле

 

. (7.27)

 

На межі розділу, тобто в площині z=0 повинна виконуватися умова безперервності дотичних складових векторів і :

 

. (7.28)

 

Компоненти векторів поля в граничних умовах (7.28) мають характер констант, помножених на функції exр, які визначаються виразами (7.26) і (7.27), і взяті при z=0.

Граничні умови (7.28) можуть бути виконані в тому випадку, якщо залежність і від змінної y в усіх трьох хвилях буде однаковою. З формул (7.26) для вектора при z=0, отримуємо

 

. (7.29)

 

Так як всі точки межі розділу рівноправні, то співвідношення (7.29) повинно виконуватися при будь-яких значеннях у. Для цього необхідно, щоб показники еxр були однакові, тобто

 

(7.30)

 

З (7.30) витікає дві тотожності. Перша тотожність є першим законом Снелліуса: кут падіння дорівнює куту відбиття:

 

. (7.31)

 

Друга тотожність – другий закон Снелліуса:

 

або . (7.32)

 

Якщо контактуючі середовища – діелектрики, то

 

. (7.33)

 

Тоді співвідношення (7.32) можна записати

 

, або , (7.34)

де

(7.35)

– показники заломлення фізичних середовищ. Якщо n₂>n₁, то кажуть, що оптична густина другого середовища більша першого. В другому випадку, коли n₂<n₁ –вона менш щільна.

Визначимо коефіцієнти Френеля для перпендикулярної поляризації, використовуючи граничні умови (7.28).

Так як

 

, (7.36)

 

то при застосуванні (7.28) можна отримати систему двох алгебраїчних лінійних рівнянь відносно і :

 

(7.37)

 

Розв'язок системи (7.37) має вигляд:

 

(7.38)

. (7.39)

 

Окремий випадок повітря – діелектрик без втрат

 

, (7.40)

 

. (7.41)

Графіки залежності і , розраховані для =2.56 з (7.40) та (7.41), зображені на рис. 7.5. При , яке наближається до 900, величина монотонно наближається до нуля, в той же час наближається до одиниці.

Паралельна (горизонтальна) поляризація. Вектор паралельний площини падіння (рис. 7.6).

Комплексні амплітуди векторів напруженості електричного і магнітного полів в цьому випадку будуть мати вигляд:

– електричне поле

 

(7.42)

 

– магнітне поле

 

(7.43)

 

По аналогії з випадком вертикальної поляризації при виконанні граничних умов (7.28) для векторів і отримаємо систему алгебраїчних лінійних рівнянь для визначення коефіцієнтів Френеля для горизонтальної поляризації:

 

(7.44)

 

Розв'язок системи має вигляд:

 

, (7.45)

 

. (7.46)

 

Окремий випадок повітря - немагнітний діелектрик

 

, (7.47)

 

. (7.48)

 

Графіки залежності і від при =2.56 за формулам (7.47) і (7.48) наведені на рис.7.7.

Порівнюючи рис.7.5 і рис.7.7 можна помітити, що характер кривої і практично один і той же. Однак криві і принципово відрізняються.

7.4 Кут Брюстера (явище повного заломлення).

 

При падінні плоских хвиль на межу розділу двох середовищ, при певних умовах, коефіцієнт відбиття може перетворюватися в нуль. Кут, при якому падаюча хвиля повністю без відбиття проникає з одного середовища в інше, називається кутом Брюстера. З'ясуємо, при якому виді поляризації можливе явище повного заломлення. Вважаємо, що середовище без втрат.

Паралельна (горизонтальна) поляризація. Умову легко отримати з формули (7.45). Для цього прирівняємо до нуля чисельник цього виразу:

 

. (7.49)

 

Піднесемо в квадрат обидві частини цієї рівності і замінимо через

 

.

 

Це дає

 

,

 

звідки

 

(7.50)

 

Отримана рівність справедлива тільки, якщо . Для звичайних діелектриків можна вважати . Тоді (7.50) приймає вигляд:

 

 

Помножимо чисельник і знаменник на відношення , отримаємо

 

.

 

Відомо, що , тоді можна вважати, що

 

. (7.51)

 

Отримано вираз, який визначає значення кута , при якому падаюча хвиля при горизонтальній поляризації повністю проходить в друге середовище. В загальному випадку, при і , кут Брюстера визначається формулою (7.50).

Вертикальна (перпендикулярна) поляризація. Прирівняємо до нуля чисельник (7.38). Це дає рівність

 

. (7.52)

 

Якщо діяти так само, як при аналізі паралельної поляризації, то прийдемо до співвідношення

 

. (7.53)

 

Рівність (7.53) виконується при . Якщо , то для кута Брюстера отримуємо просте співвідношення

 

. (7.54)

 

В загальному випадку (при і ) при нормальній поляризації для існування кута Брюстера необхідне виконання нерівностей

 

. (7.55)

 

У випадку звичайних діелектриків , , то з (7.55) слідує, що нормально поляризована хвиля відбивається при будь-яких кутах падіння, тобто повне проходження неможливе.

 

 

Плоскі хвилі кругової і еліптичної поляризації можна представити у вигляді суперпозиції двох лінійно поляризованих плоских хвиль. Вектор однієї з них лежить в площині падіння (горизонтально поляризована), а інший вектор перпендикулярний площини падіння (вертикально поляризована). Якщо ця хвиля падає під кутом Брюстера на поверхню розділу, то відбита хвиля містить тільки вертикальну складову, тобто буде лінійно поляризованою, а хвиля, яка пройшла буде елептично поляризованою.

І на завершення , порівняємо характер зміни коефіцієнтів і в залежності від кута падіння. Якщо відбиття проходить від середовища із кінченою провідністю (грунт), коефіцієнт відбиття буде комплексною величиною (R₀):

 

. (7.56)

 

Це свідчить про те, що відбита хвиля буде відрізнятися від падаючої і по амплітуді, і по фазі, тобто має місце стрибок фази.

Порівняльні графіки для модулів і від різних кутів падіння і залежності аргументів , від наведені на рис. 7.8 і 7.9.

З рисунків видно, що і дорівнюють один одному тільки при і . При інших кутах падіння >, при цьому мало залежить від кута падіння. Модуль сильно залежить від кута падіння, досягаючи мінімального значення при . Якщо обидва контактуючі середовища – діелектрики, то = 0. Аргументи рівні тільки при куті падіння рівному .