Функціонально повні системи перемикаючих функцій алгебри логіки

Функціонально повною системою, або базисом, перемикаючих функцій називають систему перемикаючих функцій Х₁, Х₂, Х₃, ..., за допомогою якої може бути представлена будь-яка функція алгебри логіки. Функціонально повними системами є базиси: І, АБО, НІ (базис 1); І, НІ (базис 2); АБО, НІ (базис 3); І-НІ або базис Шеффера (базис 4); АБО-НІ або Пірса (базис 5) і І-АБО-НІ (базис 6).

Базис І, АБО, НІ прийнято називати основним, так як будь-яка складна перемикаюча функція може бути записана у вигляді СНДФ або СКНФ.

Базиси можуть бути надлишковими і мінімальними. Базис І, АБО, НІ є надлишковою системою, так як можливе виключення з нього деяких функцій. Наприклад, використовуючи закони де Моргана, можна виключити або функцію І (базис 3), замінюючи її на АБО і НІ, або АБО (базис 4), замінюючи її на І і НІ. На рис. 4 наведені структури логічних елементів І, який складається із елементів НІ і АБО, і АБО, який складається з елементів НІ і І.

Базиси І, НІ і АБО, НІ називають нормальними базисами, так як при видаленні із цих базисів хоча б однієї функції функціонально повна система перетворюється в неповну.

Структури логічних елементів НІ, І, АБО складаються з елементів Шеффера.

Структури логічних елементів НІ, АБО, І, які складаються з елементів Пірса, приведені на рис. 5.

При побудові вузлів і блоків ЕОМ часто застосовують базис І-АБО-НІ (рис. 6).

Єднальною ланкою між реальним елементом і його перемикаючою функцією служить полярність логіки. Розрізняють позитивну і негативну логіку. При позитивній логіці в якості логічної одиниці прийнято високий рівень сигналу, при негативній — низький рівень сигналу. Залежно від типу вибраної логіки одні і ті ж логічні елементи можуть реалізовувати різні функції. Із принципу дуальності слідує, що один і той же логічний вираз може бути представлено двояко, наприклад

Х=А·В і =/ .

Це означає, що один і той же елемент буде реалізовувати з точки зору позитивної логіки функцію кон’юнкції, а з точки зору негативної логіки — диз’юнкцію.

В подальшому в якості одиниці всюди буде прийнято високий рівень напруги (позитивна логіка).

 

Рис. 4. Логічні схеми І(а) та АБО(б), відповідно в базисах АБО-НІ та І-НІ.

Рис. 5. Структури логічних елементів НІ , АБО, І, що складаються з елементів Пірса.

Рис. 6. Умовне графічне позначення елемента І-АБО-НІ.

 

Порядок виконання роботи

 

1. Уважно опрацюйте запропонований теоретичний матеріал. Повторіть алгоритм перетворення перемикаючих функцій з нормальної на досконалу форму.

2. Залежно від варіанту виконайте завдання:

1 варіант.

Звести до ДКНФ:

Звести до ДДНФ:

 

2 варіант.

Звести до ДКНФ:

Звести до ДДНФ:

 

 

Продемонструйте викладачу результати виконання роботи.

3. Завантажте табличний процесор Excel. Викличте майстер функцій. Оберіть категорію «Логічні». Повторіть порядок побудови таблиць істинності у Microsoft Excel. За допомогою таблиць істинності перевірте, чи співпадають значення функції у нормальній формі зі значенням, що ви отримали після перетворення на досконалу форму. Виконуйте завдання поступово, враховуючи правила порядку дій в алгебрі логіки. Продемонструйте викладачу результати побудови таблиць істинності.

4. Прослідкуйте, щоб кожен стовпчик даних мав відповідний до назви операції заголовок, створений у Microsoft Equation.

5. Виконайте завдання графічним способом.

6. Підготуйте звіт відповідно до встановленого зразка.