Решение игр 2хn, mх2.

Рассмотрим сначала игру 2´n с платежной матрицей

.

Будем предполагать, что седловой точки матрица A не имеет. Произвольную смешанную стратегию игрока 1 представим в виде , где . Если игрок 1 применяет смешанную стратегию x, а игрок 2 — свою j–ю чистую стратегию, то выигрыш игрока 1, очевидно, равен , то есть линейно зависит от p.

По теореме

.

Исходя из этого соотношения, с помощью простых геометрических построений легко найти решение игры:

Рис. 1.

- строим графики функций для . Получим n прямых (см. рис. 1). Эти прямые удобно строить по двум точкам — и . Первая из них находится на оси ординат H, вторая — на оси ;

- строим график функции

—

нижнюю огибающую всех прямых, соответствующих стратегиям игрока 2. Значения этой функции, соответствуют выигрышу игрока 1, когда он применяет стратегию , а противник действует наихудшим для него образом. На рис. 1 нижняя огибающая выделена жирной линией;

- наивысшая точка нижней огибающей (точка L на рис. 1) соответствует тому значению p, при котором достигается

.

Поэтому ордината точки L является значением игры, а ее абсцисса — первой компонентой оптимальной смешанной стратегии игрока 1: .Если же таких высших точек будет более одной, т.е. огибающая будет иметь наивысший огибающий участок, то у игрока 1 существует бесконечное множество оптимальных смешанных стратегий, первые компоненты которых соответствуют абсциссам точек этого горизонтального участка.

Описанное построение позволяет исходную игру 2´n свести к игре 2´2. Так как матрица игры не имеет седловой точки, то и в точке L пересекается не менее двух прямых с противоположным наклоном. Пусть и такие прямые. Интуитивно ясно, что игрок 2, пользуясь только двумя стратегиями и , может не дать игроку 1 выиграть больше, чем v. Таким образом, оптимальное поведение в игре 2´2:

является оптимальным и в исходной игре 2´n. Решение игры легко получить по формулам для игр 2х2.

В случае, когда нижняя огибающая имеет верхний горизонтальный участок, соответствующий чистой стратегии , то будет единственной чистой оптимальной стратегией игрока 2.

Пусть теперь две чистые стратегии имеет игрок 2, а игрок 1 — произвольное их число. Матрица такой игры имеет вид:

Рис. 2.

.

Анализ этой игры выполняется аналогично предыдущему случаю. Отличие состоит лишь в том, что теперь, чтобы учесть интересы игрока 2, нужно исходить из соотношения (теорема):

,

где q — первая компонента смешанной стратегии игрока 2, а .

Для перехода от исходной игры к игре используется точка — нижняя точка верхней огибающей семейства прямых (рис. 2).

Пример. Рассматривается задача разработки оптимального плана энергетического строительства в некотором регионе. Предположим, что имеются возможности строительства электростанций четырех типов: , , и (тепловые, гидравлические и т.д.). Эффективность каждого из четырех типов объектов зависит от разнородных факторов (наводнения, засуха, морозы), а также от цены топлива, расходов на его транспортирование и т. п. Допустим, что можно выделить (по крайней мере, ориентировочно) пять различных случаев, каждый из которых обозначает определенное сочетание факторов, влияющих на возможную эффективность энергетических объектов. Назовем их состояниями природы и обозначим через , , , и .

Экономическая эффективность отдельных типов электростанций изменяется в зависимости от состояния природы в соответствии со следующей таблицей:

 

 

		Состояния природы
Типы
электростанций

 

Будем рассматривать описанную ситуацию как игровую. Первый игрок (планирующие органы) располагает четырьмя стратегиями (по числу типов электростанций). Второй игрок («природа») действует случайно, но так, что к явлениям природы невозможно применить положения теории вероятностей. У него пять стратегий. В этих условиях табл. является, по существу, игровой матрицей. Ее анализ показывает, что у игрока 1 стратегии 1 и 2 доминируются стратегией 3 и поэтому могут быть исключены из рассмотрения. Приходим к игре с матрицей:

 

Теперь замечаем, что у игрока 2 стратегия 3 доминируется стратегией 2, а стратегия 2 — стратегией 4. Следовательно, имеет смысл анализировать игру 2´3, задаваемую матрицей:

 

Пусть — произвольная смешанная стратегия игрока 1 в этой игре. Найдем функции , :

и построим их графики (рис. 3)

Рис. 3.

Экстремальная точка L на нижней огибающей (отмечена жирной линией) является пересечением прямых, соответствующих 1–ой и 4–ой стратегиям игрока 2, поэтому рассматриваем игру 2´2:

По формулам находим:

Из полученных результатов формируем решение исходной игры:

.

Таким образом, для обеспечения региона электроэнергией целесообразно ограничиться строительством электростанций типов и в пропорции . При этом экономическая эффективность такого решения никогда не будет ниже 4.5; если же учесть, что второй игрок — природа — скорее всего не будет применять своей оптимальной стратегии, то можно рассчитывать на более высокий показатель эффективности.