Реферат Курсовая Конспект
Выпуклость (вогнутость) функции. Перегибы. - раздел Науковедение, Лекция 11. Исследование функций Пусть Функция Y=F(X) Дифференцируема На Интервале (A...
|
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда существует касательная к графику функции y=f(x) в любой точке M(x; f(x)) этого графика (a<x<b), причем касательная не параллельна оси Оу, поскольку её угловой коэффициент, равный f¢(x), конечен.
Определение 1: Будем говорить, что график функции у=f(x) имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз – вогнутость (выпуклость, направленную вверх – выпуклость), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а, b).
Замечание: на участке выпуклости касательные к графику функции не пересекаются с самим графиком и имеют с ним лишь точки касания.
Теорема 1 (признак выпуклости (вогнутости)): Если функция f(х) дважды дифференцируема на интервале (a, b) и f²(х)≥0 (f²(х)≤0) на (a, b), то функция f(x) вогнута (выпукла) на (a, b).
Определение 2: Точка М(х0; f(х0)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в точке М график имеет касательную, и существует такая окрестность точки х0, в пределах которой график функции y=f(x) слева и справа от точки х0 имеет разные направления выпуклости.
Теорема 2 (необходимое условие точки перегиба): Если функция f(х) имеет в точке х0 перегиб и дважды дифференцируема в этой точке, то f²(х0)=0.
Замечание: Если в точке х0 f²(х0)=0, то она может и не быть точкой перегиба.
Теорема 3 (достаточное условие перегиба): Пусть функция f(х) дважды дифференцируема в некоторой d-окрестности точки х0. Тогда, если f²(x)<f²(х0) (f²(x)>f²(х0)) для всех х из (х0-d, х0), а f²(x)>f²(х0) (f²(x)<f²(х0)) для всех х из (х0, х0+d), то в точке х0 функция f(х) имеет перегиб, если же f²(х) во всей d-окрестности точки х0 имеет один и тот же знак, то в точке х0 перегиба нет.
Другими словами, если f²(x) при переходе через точку х0 меняет знак с «+» на «-», или с «-» на «+», то х0 — точка перегиба, если же знак f²(x) в точке х0 не изменяется, то в точке х0 перегиба не существует.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Возрастание убывание функции Экстремумы Теорема признак возрастания убывания Если... Формулы Тейлора и Маклорена Формула Тейлора... Примеры разложения элементарных функций по формуле Маклорена...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Выпуклость (вогнутость) функции. Перегибы.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов