Реферат Курсовая Конспект
Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий - раздел Образование, Методы проверки гипотез о законах распределения и параметрах законов распределения Пусть Имеются Две Независимые Случайные Величины ...
|
Пусть имеются две независимые случайные величины и , распределённые по нормальному закону. Эксперимент состоит в том, что над случайными величинами и осуществляется соответственно n и m независимых испытаний, в результате которых получаются случайные выборки , ,…,и , ,…,. По этим выборкам определяются оценки математических ожиданий
, .
Требуется по полученным оценкам проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий и .
Такая задача ставится потому, что, как правило, оценки математических ожиданий оказываются различными. Причина этого может быть двоякой: либо действительно отличны и оценки и математические ожидания, либо и одинаковы, а отличие оценок вызвано случайными причинами, в частности, случайным отбором вариантов выборки. Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива ( = ), то различие в оценках и обусловлено случайными причинами, иначе различными являются математические ожидания. При решении данной задачи остановимся на том случае, когда дисперсии и известны.
В качестве показателя согласованности гипотезы выберем случайную величину
. (7.2.1)
Целесообразность выбора показателя согласованности вида (7.2.1) определяется следующими соображениями.
Введём в рассмотрение случайную величину
, (7.2.2)
которая, очевидно, распределена по нормальному закону и имеет числовые характеристики:
; ; .
Нормируем случайную величину (7.2.2) и получаем
. (7.2.3)
Случайная величина (7.2.3) подчинена нормальному закону распределения, параметры которого известны: = 0, = 1, что существенно упрощает процедуру проверки нулевой гипотезы. Действительно, если гипотеза H0 справедлива ( = ), то случайная величина центрирована, откуда следует, что = 0. Так как выборки независимые, то = 1.
Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы, которая может быть сформулирована тремя различными способами:
¹ ; > ; < .
Рассмотрим методику проверки гипотезы H0 для каждого из приведённых способов формулировки конкурирующей гипотезы.
1. H0: = ; H1: ¹ .
В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания в неё показателя согласованности в предположении о справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости a.
Наибольшая мощность критерия достигается тогда, когда левая и правая критические точки ua1, ua2 выбраны так, что вероятность попадания показателя согласованности в каждый из двух интервалов критической области равна a/2:
; .
Поскольку – нормированная нормально распределённая случайная величина и её распределение симметрично относительно нуля, то критические точки также симметричны относительно нуля:
|ua1| = |ua2| = |ua|.
Используя функцию нормированного нормального распределения (функцию Лапласа), вероятность попадания показателя согласованности в критическую область можно определить выражением
,
откуда
. (7.2.4)
Двусторонняя критическая область будет определяться неравенствами u < –ua, u > ua. Таким образом, правило проверки гипотезы H0 для рассматриваемого случая состоит в следующем.
а). Назначается уровень значимости a и в соответствии с формулой (7.2.4) по таблице приложения 4 определяются границы критической области ua1 = –ua, ua2 = ua.
б). На основе случайных выборок вычисляется наблюдаемое значение показателя u по формуле
. (7.2.5)
в). Проверяется условие |u| > ua. Если оно выполняется, то гипотеза H0 отвергается. В противном случае данные эксперимента не противоречат нулевой гипотезе.
П р и м е р 7.4. Производится контрольный отстрел двух партий снарядов, причём из первой партии проверяется 10 снарядов, а из второй – 15. В результате отстрела получены следующие оценки математических ожиданий отклонения точек попадания снарядов от точки прицеливания по дальности: для первой партии отклонение равно –0,8 км, для второй +0,4 км. Среднеквадратические отклонения по дальности для снарядов первой и второй партий известны и равны соответственно 2 и 1,5 км. Необходимо проверить гипотезу о совпадении проекций центров рассеивания на ось дальности в обеих партиях.
▼ Пусть и – отклонение точек попадания снарядов от точки прицеливания по дальности соответственно для первой и второй партий.
По условию задачи n = 10, m = 15, = –0,8 км, = 0,4 км, = 2 км, = 1,5 км.
Задаёмся уровнем значимости a = 0,05 и в приложении 4 находим
ua = t1–a = tg = t0,95 = 1,96.
Используя формулу (7.2.5), вычисляем абсолютное значение показателя согласованности:
.
Так как |u| < ua, нулевая гипотеза = не противоречит данным контрольного отстрела.
2. H0: = ; H1: > .
Такой случай возможен, если априорные сведения позволяют предположить, что > . В этом случае строят такую правостороннюю критическую область, чтобы вероятность попадания в неё показателя согласованности в предположении о справедливости нулевой гипотезы была равна a:
. (7.2.6)
Для того чтобы критическую точку найти с помощью функции Лапласа, перепишем выражение (7.2.6) в виде
.
Из предыдущего выражения получим
и, следовательно,
(7.2.7)
Правило проверки гипотезы для рассматриваемого случая.
а). Назначается уровень значимости a и в соответствии с (7.2.7) по таблице приложения 4 определяется величина ua. При этом в таблицу следует входить со значением 1–2α,
б). Определяется величина u по формуле (7.2.5).
в). Проверяется условие u > ua. Если оно выполняется, гипотеза H0 отвергается, в противном случае принимается.
3. H0: = ; H1: < .
При указанной формулировке конкурирующей гипотезы левостороннюю критическую область строят так, чтобы вероятность попадания в неё показателя согласованности в предположении о справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости: .
Учитывая, что показатель имеет симметричное распределение относительно нуля, заключаем, что точка ua1 симметрична такой точке ua > 0, для которой , это значит ua1 = –ua. Следовательно, методика определения ua1 полностью совпадает с методикой предыдущего случая, только полученное значение берётся с отрицательным знаком.
Правило проверки гипотезы также аналогично рассмотренному выше правилу, за исключением последнего пункта, а именно, если u < ua1, нулевая гипотеза отвергается, в противном случае – принимается.
Выше предполагалось, что случайные величины и распределены нормально, а их дисперсии известны. При этих предположениях показатель согласованности гипотезы распределён по нормальному закону с параметрами = 0, = 1. Если хотя бы одно из предположений не выполняется, описанный метод проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий неприменим. Однако при больших объёмах независимых выборок (³ 30 вариантов каждая) оценки математических ожиданий и дисперсий распределены приближённо нормально и закон распределения можно считать близким к нормальному. В этом случае проверку гипотезы можно проводить по описанной выше методике, подставляя в формулу (7.2.5) оценки дисперсий, но к полученным результатам следует относиться с осторожностью.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: "Методы проверки гипотез о законах распределения и параметрах законов распределения"
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов