Производная функции. Основные определения и обозначения
Производная функции. Основные определения и обозначения - раздел Образование, Уфа 2013
Назовем Разность ...
Назовем разность – приращением функции в точке соответствующим приращению аргументаПроизводной функции в точке называется предел
Производная функции , рассматриваемая на множестве тех точек, где она существует, сама является функцией. Процесс нахождения производной называют также дифференцированием. Для нахождения производных нужно пользоваться таблицей производных основных элементарных функций и правилами дифференцирования функций.
Таблица производных основных элементарных функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Правила дифференцирования функций
1. Пусть C-константа и функции имеют производную в точке тогда:
; ; ;
; .
2. Пусть функция имеет производную в точке а функция имеет производную в точке Тогда сложная функция в точке имеет производную, равную
Второе свойство называется правилом дифференцирования сложной функции.
Пример. Найти производную функции
Полагая и имеем и Отсюда, согласно правилу дифференцирования сложной функции, получаем
Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е. Применение предварительного логарифмирования часто упрощает вычисление производной.
Примеры.
а) Найти производную функции
Логарифмируя, получим Отсюда находим производные левой и правой части Следовательно,
б) Найти производную функции
Логарифмируя, получим Находя производные левой и правой части, получаем
Следовательно,
Пусть на интервале заданы две функции и Если при этом функция на интервале имеет обратную то определена новая функция называемая функцией, заданной параметрически соотношениями Переменная называется в этом случае параметром. Производная функции, заданной параметрически, находится по формуле
Пример. Найти если функция задана параметрически
Поскольку то получаем
Функция неявно задана на интервале уравнением если для всех выполнено равенство Для вычисления производной функции нужно равенство продифференцировать по а затем полученное уравнение разрешить относительно
Пример.
Найти производную функции заданной неявно
Дифференцируем по это равенство и получаем Отсюда
Производной 2-го порядка от функции называется производная от ее первой производной, т.е. Для производной 2-го порядка используется также обозначение
Пример. Найти если
Имеем Следовательно,
Если приращение функции в точке можно представить в виде при где – некоторое число, то линейная часть этого приращения называется дифференциалом этой функции в точке соответствующим приращению и обозначается символом
Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке необходимо и достаточно, чтобы существовала производная при этом справедливо равенство Поэтому выражение для дифференциала имеет вид где принято обозначение
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования... Уфимский государственный авиационный технический университет... ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ...
Уфа 2013
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Уфимский государ
Обратная матрица
Для квадратной матрицы А порядка n можно определить такую матрицу Х порядка n, что ХА = АХ = Е, где Е – единичная матрица порядка n.
Матриц
Матрицы
являются соответственно матрицей и расширенной матри
Решение системы уравнений
После выяснения совместности системы строят ее общее решение. Для этого вновь полученную после элементарных преобразований матрицу записывают в виде системы, отбросив нулевые строки
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Написать уравнение прямой и привести его к общему виду, если:
1) прямая проходит через точку М(-1, 2) перпендикулярно вектору
Уравнений прямой
В различных геометрических задачах используются те или иные уравнения прямой в зависимости от условий. При этом важно помнить геометрический смысл различных коэффициентов в уравнении прямой. Наибол
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Вычислить расстояние от прямой 2х - у + 1 = 0 до начала координат и до точки М(-1, 2).
Задача 2) В треугольнике с вершинами А(1, 2),
Плоскость в пространстве
При рассмотрении плоскости в пространстве необходимо иметь в виду, что методика решения задач аналогична методике решения задач на прямую в плоскости. Это связано с тем, что различные уравнения пло
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1, 2, 0) и В(2, 1, 1), перпендикулярно плоскости -х + у - 1 = 0.
Задача 2) Сост
Прямая и плоскость
Уравнение прямой в пространстве может быть записано как уравнение линии пересечения двух плоскостей в следующем виде:
Асимптоты
Асимптотой графика функции называется такая прямая, что расстояние от
Построение графиков функций
Исследование функций и построение их графиков можно проводить по следующей схеме.
1. Найти область определения функции.
2. Определить четность или нечетность данно
Новости и инфо для студентов