Использование формул дифференцирования - раздел Образование, Работа № 1. Измерение линейных размеров, определение площадей, объемов и плотности твердых тел Для Определения Абсолютных И Относительных Погрешностей Искомой Величины При ...
Для определения абсолютных и относительных погрешностей искомой величины при косвенных измерениях можно воспользоваться формулами дифференцирования, потому что абсолютная ошибка функции равна абсолютной ошибке аргумента, умноженной на производную этой функции, то есть полному дифференциалу функции.
Рассмотрим это более подробно. Допустим, что физическая величина А является функцией многих переменных:
A = f (x, y, z ...).
Правило I. Вначале находят абсолютную погрешность величины А, а затем относительную погрешность. Для этого необходимо:
1) Найти полный дифференциал функции
.
2) Заменить бесконечно малые dx, dу, dz, ... соответствующими абсолютными ошибками аргументов Dx, Dy, Dz, … (при этом знаки "минус" в абсолютных ошибках аргументов заменяют знаками "плюс", так чтобы величина ошибки была максимальной):
.
Применяя это правило к частным случаям, получим:
- абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. Если X = a + b, то DX = Da + Db;
- абсолютная погрешность разности равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого. Если X = a - b, то DX = Da + Db;
- абсолютная погрешность произведения двух сомножителей равна сумме произведений среднего значения первого множителя (aCP) на абсолютную погрешность второго и среднего значения второго множителя (bCP) на абсолютную погрешность первого. Если X = а × b, то DX = aCP × Db + bCP × Dа. Если X = a n , то DX = n × аCPn-1 × Dа;
- абсолютная погрешность дроби равна сумме произведения знаменателя на абсолютную погрешность числителя и числителя на абсолютную погрешность знаменателя, деленной на квадрат знаменателя. Если X =
, то DX=
.
3) По определению найдем относительную погрешность
.
Использование дифференциала натурального логарифма
Во многих случаях, когда формула удобна для логарифмирования, оказывается более удобной другая последовательность действий: сначала находят относительную погрешность величины А, а затем абсолютную погрешность, поскольку относительная ошибка функции равна дифференциалу натурального логарифма этой функции. Действительно, относительная погрешность величины А есть Е
А = DA/А
ср , но d(lnA) = DA/А и, следовательно, D(lnA) = DA/А.
Правило II.
1) Логарифмируют функцию A = f (x, y, z, ...).
2) Дифференцируют полученный логарифм по всем аргументам.
3) Заменяют бесконечно малые dx, dy, dz, ... абсолютными ошибками соответствующих аргументов Dx, Dy, Dz, … (знаки "минус" в абсолютных ошибках аргументов заменяют знаками "плюс").
После вычислений получают относительную погрешность ЕА.
4) Абсолютную погрешность находят из формулы
DA = ACP ×EA..
Указания. 1. Если функция A = f (x, y, z, ...) имеет вид, неудобный для логарифмирования, то для определения погрешностей пользуются правилом I.
2. Если функция A = f (x, y, z, ...) имеет вид, удобный для логарифмирования, то для определения погрешностей пользуются правилом II.
Рассмотрим следующие примеры:
1. В результате изучения равноускоренного движения некоторого тела получено выражение S = v0Чt + aЧt2/2, в котором
v0 = (12 ± 1) м/с; a = (2.5 ± 0.4) м/с2; t = (30 ± 2) с;
S = 12 × 30 + 
= 1485 м.
Для оценки абсолютной и относительной погрешностей при определении пути удобно пользоваться правилом I, так как функция неудобна для логарифмирования. Тогда
.
Так как
DV0 = 1 м/с; Dt = 2 с; Da = 0.4 м/с2; V0 = I2 м/с; tСР = 30 с; aСР = 2,5 м/с2 , то, подставив эти величины в формулу для DS, получим
DS = 1 м/с × 30 с + 2 с × 12 м/с + 1/2 × 0.4 м/с
2 × 900 с
2 + 2.5 м/с
2 × 30 c × 2 c = 30 м +24 м +180 м +150 м = 384 м » 400 м.
Полученный результат показывает, что при определении пути (1485) цифра 4 является сомнительной. Значит, S = 1500 м. Тогда
ES = 
×100% = 0.266 ×100% = 27%.
Окончательный результат будет иметь вид:
Все темы данного раздела:
КАтеГорически запреЩается!
1. Включать силовые рубильники.
2. Включать электрические схемы без предварительной проверки их преподавателем или лаборантом.
3. Устранять неисправности в электрических цепях бе
Промахи
Это наиболее распространенная причина ошибок. Она возникает по вине экспериментатора, сделавшего неверный отсчет, неверно записавшего результат измерения, допустившего ошибку при вычислении. К пром
Систематические погрешности
Систематической называют такую погрешность, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повто
Случайные погрешности
Случайной называется погрешность, которая вызывается действием не поддающихся контролю многочисленных, независимых друг от друга факторов, изменяется от одного измерения к другому непредсказ
Абсолютная погрешность
Оценить отклонение каждого из результатов измерения от истинной величины можно лишь при наличии данных большого числа измерений с использованием теории вероятности. Однако на практике, в лаборато
Относительная погрешность
Абсолютная погрешность измерения не характеризует точности проведенных измерений. Поэтому для того, чтобы сравнить точность различных измерений и величин разной размерности, находят среднюю относи
Графическая обработка результатов измерений
Очень часто при выполнении лабораторной работы требуется проследить зависимость какой-либо физической величины от другой. В этом случае применяется графический метод. Все графики должны выполнятьс
Составление отчета
Лабораторная работа представляет собой самостоятельное, законченное исследование, пусть даже самое простое. Составление отчета является важным этапом выполнения работы. Оно преследует две основны
Вопросы, знание которых обязательно для допуска к выполнению работы
1. Что называется нониусом?
2. Что такое цена деления? Как определить цену деления нониуса?
3. Что называется погрешностью измерения? Чему равна погрешность нониуса?
4.
II. Микрометр
Микрометр позволяет измерять внешние размеры предметов, если они не превышают 100 мм, например: диаметр проволоки, т
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Прежде, чем пользоваться микрометром, необходимо убедиться, что нули его шкал совпадают: нуль барабана должен находиться против нуля линейной шкалы. Измеряемое тело помещают между винтом и противо
Для получения зачета необходимо
1. Продемонстрировать умение определять линейные размеры тел с помощью штангенциркуля и микрометра. Уметь оценивать погрешности при определении размеров тел.
2. Представить отчет по устан
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Оба груза равной массы нагружают перегрузками. Если перекладывать перегрузки с одной стороны на другую, то при постоянстве массы всей системы можно менять результирующую внешнюю силу, приложенну
Для студентов факультета технологии и предпринимательства
1. Дайте определение следующих кинематических понятий: материальная точка, траектория, перемещение, пройденный путь, скорость, ускорение?
2. Запишите связь между кинематическими величинами
Для студентов естественнонаучных факультетов
1. Как зависит ускорение свободного падения от широты места? Чему равно ускорение свободного падения на экваторе, на полюсе, на широте Санкт-Петербурга?
2. Рассчитайте ускорение свободног
Вопросы, знание которых обязательно для допуска к выполнению работы
1. Какие колебания называются гармоническими? Напишите уравнение гармонических колебаний.
2. Что называетс
Для студентов факультета технологии и предпринимательства
1. Что такое колебание? Какие колебательные движения вы знаете?
2. При каких условиях возникают гармонические колебания?
3. Что можно оказать о напряжении в металлическом бруске
Вопросы, знание которых обязательно для допуска к выполнению работы
1. Что называется деформацией тела? Какие деформации называются упругими, какие неупругими?
2. Какие тела относятся к упругим, неупругим, пластическим?
3. Как формулируется закон
Описание установки
Для определения модуля Юнга в этой работе используется следующая установка, схема которой изображена на рис. 3. Вер
Порядок работы на катетометре B-630
1. Включить прибор в сеть через трансформатор.
2. Открепить винт крепления измерительной каретки и переместить её на уровень риски объекта.
3. Установить окуляр зрительной трубы н
Порядок выполнения работы
1. Взять у преподавателя или лаборанта исследуемую проволоку.
2. Измерить 5 раз расстояние между штрихами
Вопросы, знание которых обязательно для допуска к выполнению работы
1. Что называется деформацией тела? Какие деформации называются упругими, какие неупругими?
2. Какие тела относятся к упругим, неупругим, пластическим?
3. Как формулируется закон
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Для определения модуля Юнга в этой работе пользуются установкой, схема которой изображена на рис. 9.
В нашем опыте используемый брусок свободно опирается на две опоры. Изменение нагрузки
ПОРЯДОК выполнения работы
1. Взять у преподавателя или лаборанта не менее двух брусков из разных материалов.
2. Измерить не менее 5 раз геометрические размеры брусков. Результаты занести в таблицу 1. (Таких
Вопросы, знание которых необходимо для допуска к выполнению работы
1. Угловая скорость. Связь между угловой скоростью тела и линейной скоростью его точек. Единицы измерения.
2. Угловое ускорение. Связь между угловым ускорением тела и линейным ускорением
Для получения зачета необходимо
1. Продемонстрировать преподавателю умение определять момент инерции методом трифилярного подвеса.
2. Представить отчет по установленной форме.
Вопросы, знание которых обязательно для допуска к выполнению работы
1. Угловая скорость. Связь между угловой скоростью тела и линейной скоростью его точек. Единицы измерения.
2. Угловое ускорение. Связь между угловым ускорением и линейным ускорением его т
Для получения зачета необходимо
1. Продемонстрировать экспериментальные методы определения моментов инерции бруска и кольца.
2. Представить отчет по установленной форме.
3. Уметь отвечать на вопросы типа:
Новости и инфо для студентов