Задача 8.

1. Вычислите проекцию вектора на направление вектора , где А(7;3;-2), B(8;2;-2).

2. Найдите единичный вектор, перпендикулярный векторам и .

3. При каком значении t векторы и будут взаимно перпендикулярны?

4. Докажите, что точки A(1;-1;1), B(1;3;1), C(4;3;1), D(4;-1;1) являются вершинами прямоугольника. Вычислите длину его диагоналей.

5. В прямоугольном треугольнике АВС углы при вершинах А и С равны 60 и соответственно, а длина гипотенузы равна 2. Вычислите скалярное произведение векторов и .

6. Даны точки А(0;-3;4), B(2;5;-1), C(-4;2;-2). Вычислите скалярное произведение векторов и .

7. В треугольнике АВС заданы координаты вершин А(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Определите его внешний угол при вершине В.

8. Найдите координаты вектора , коллинеарного вектору , если известно, что вектор образует осью тупой угол и

9. Даны A(1;1-1), B(2;4;-1) и C(8;3;-1) – координаты вершин треугольника АВС. Выясните, каким он является: прямоугольным, остроугольным или тупоугольным.

10. Проверьте, будет ли треугольник АВС с вершинами в точках А(1;2;3), В(7;10;3), и С(-1;3;1) прямоугольным.

11. Найдите работу силы на перемещении .

12. Вычислите координаты вектора , ортогонального векторам и и образующего тупой угол с осью 0у, если .

13. Найдите скалярное произведение векторов и , если и .

14. Найдите угол между векторами и , если и .

15. Даны векторы и .При каком значении векторы и перпендикулярны?

16. Найдите скалярное произведение векторов и , если , .

17. Векторы и образуют угол . Найдите длину вектора , если

18. При каком значении t векторы и будут взаимно перпендикулярны, если

19. Заданы точки и вектор Вычислите скалярное произведение векторов и

20. Найдите координаты вектора , если он коллинеарен вектору , составляет острый угол с осью и

21. Найдите координаты вектора , если он коллинеарен вектору и скалярное произведение его на вектор равно 3.

22. Вычислите проекцию вектора на ось, образующую равные острые углы с координатными осями.

23. Векторы и образуют угол , Вычислите и .

24. Вычислите работу, которую совершает сила по перемещению материальной точки в положение .

25. Вычислите проекцию вектора на ось вектора .

26. Найдите скалярное произведение векторов и , если и угол между векторами и равен .

27. Вычислите проекцию вектора на направление вектора , где

28. Заданы точки и вектор Вычислите скалярное произведение векторов и

29. Найти работу силы на перемещении , если

30. Вычислите площадь треугольника, построенного на векторах и , если и