Методические указания

 

Студентам следует знать, что наиболее известными и простыми являются два основных способа выполнения операции умножения чисел в форме с фиксированной запятой:

- умножение с младших разрядов множителя;

- умножение со старших разрядов множителя.

В обоих случаях операция умножения состоит из последовательных операций сложения частичных произведений. Выполнение операции сложения зависит от значений разрядов множителя: если некоторый разряд множителя равен единице, то к сумме частичных произведений прибавляется множимое с частичным сдвигом; если разряд множителя равен нулю, то множимое не прибавляется.

Пусть A=0, a₁,a₂, …, a_n – множимое в прямом коде (A≥0); B=0, b₁,b₂,…, b_n – множитель в прямом коде (B≥0); C – произведение. Тогда C=0, c₁,c₂,…,c_n

и C=A∙B=A∙b₁∙2^-1+A∙b₂∙2^-2+…+A∙b_n∙2^-n

Произведение С , учитывая возможности сдвига множимого или суммы частичных произведений, может быть вычислено по одному из следующих четырех алгоритмов.

Алгоритм 1. Умножение с младших разрядов множителя со сдвигом суммы частичных произведений вправо:

 

C=A∙B=(…((0+A∙b_n) ∙2^-1+A∙b_n-1) ∙2^-1+…+A∙b₁) ∙2^-1.

 

Множимое A последовательно умножается на разряды множителя b_n,b_n-1,…,b₁ и добавляется на каждом шаге к сдвинутой вправо на 1 разряд (умноженной на 2^-1) сумме частичных произведений.

Алгоритм 2. Умножение с младших разрядов множителя со сдвигом множимого влево при неподвижной сумме частичных произведений:

C=A∙B=0+(2^-n∙A) ∙b_n+(2¹(2^-n∙A)) ∙b_n-1+(2¹(2¹(2^-n∙A))) ∙b_n-2+…+(2^-1∙A) ∙b₁

 

Множимое A , первоначально сдвинутое на n разрядов вправо (умноженное на 2-n), умножается последовательно на разряды множителя b_n,b_n-1,…,b₁ и после сложения с суммой частичных произведений на каждом шаге сдвигается влево на 1 разряд (умножается на 2¹).

Алгоритм 3. Умножение со старших разрядов множителя со сдвигом суммы частичных произведений влево при неподвижном множимом:

C=A∙B=(…((0+2^-n∙A∙b₁) ∙2¹+2^-n∙A∙b₂)2¹+…+2^-n∙A∙b_n-1)2¹+2^-n∙A∙b_n

 

Множимое A , сдвинутое вправо на n разрядов, умножается последовательно на разряды множителя b₁,b₂,…,b_n и добавляется на каждом шаге к младшим разрядам суммы частичных произведений, которая после этого сдвигается влево на 1 разряд (кроме последнего шага, когда производится умножение на b_n).

Алгоритм 4. Умножение со старших разрядов множителя со сдвигом множимого вправо при неподвижной сумме частичных произведений:

C=A∙B=0+(2^-1∙A) ∙b₁+(2^-1(2^-1∙A)) ∙b₂+…+(2^-n∙A) ∙b_n

 

Множимое A на каждом шаге сдвигается вправо на 1 разряд, умножается на соответствующий разряд множителя b₁,b₂,…,b_n и добавляется к сумме частичных произведений.

Умножение чисел, представленных в дополнительном и обратном кодах, имеет следующие важные особенности:

а) в случае положительного множителя B=B_дк=B_ок=0, b₁b₂…b_n при умножении получаем сразу дополнительный (обратный) код произведения:

С_дк = А_дк∙0, b₁b₂…b_n =(A∙B)_дк,

С_ок = А_ок∙0, b₁b₂…b_n =(A∙B)_ок

б) в случае отрицательного множителя B=B_дк=B_ок=1, ~b₁b₂…b_n дополнительный (обратный код произведения получается после введения одной (двух) коррекции):

С_дк = А_дк∙0, b₁b₂…b_n -A_дк

С_ок = А_ок∙0, b₁b₂…b_n - А_ок+ А_ок∙2^-n

в) умножение кода множимого на цифровые разряды кода множителя выполняется по любому из рассмотренных алгоритмов, при этом операции сложения и сдвига выполняются в соответствующем коде.

Умножение чисел, представленных в форме с плавающей запятой, включает следующие этапы:

а) умножение мантисс, как чисел с фиксированной запятой, по одному из алгоритмов 1-4;

б) сложение порядков;

в) нормализация мантиссы с соответствующей коррекцией порядка результата.

Студентам следует обратить внимание на то, что при умножении чисел с плавающей запятой возможно переполнение разрядной сетки.

Из анализа алгоритмов умножения чисел с фиксированной точкой следует, что операционное устройство для умножения должно содержать операционные элементы:

а) регистр множимого;

б) регистр множителя;

в) накапливающий сумматор частичных произведений;

г) счетчик тактов умножения;

д) преобразователь кода для вычитания коррекции в случае умножения дополнительных (обратных) кодов.

На операционных элементах должны выполняться микрооперации:

а) суммирование суммы частичных произведений и множимого;

б) сдвиги множимого, множителя и суммы частичных произведений влево и вправо;

в) получение дополнительного (обратного) кода множимого;

г) подсчет числа выполненных тактов умножения.

При выполнении умножения на операционных элементах должны вычисляться логические условия:

а) значение разряда множителя, на который производится умножение;

б) признак окончания операции после умножения на все разряды множителя.

Конкретный набор операционных элементов, их разрядность, связи между ними, распределение выполняемых микроопераций и вычисляемых логических условий определяются реализуемым алгоритмом и формой представления операндов.

При подготовке к работе рекомендуется использовать литературу

[4, гл. 4], [1, с. 193-198, 228-229].