Проверка.

 

Ответ: х₁=-1, х₂=2, x₃=0.

Пример 2. Дана система линейных уравнений

 

Исследовать систему на совместность и в случае ее совместности решить:

а) методом Гаусса;

б) по правилу Крамера.

Решение.вычислим ранг матрицы

В= ~ ~

~

Следовательно, rangA=rangB=2. Система совместна. Так как число неизвестных больше ранга матриц А и В, то система имеет бесконечно много решений.

а) Для решения системы методом Гаусса воспользуемся полученной ступенчатой матрицей. Запишем систему, соответствующую этой матрице.

 

В ступенчатой матрице

 

выберем ненулевой минор D порядка, равного рангу матрицы А. В качестве D можно взять минор

D= =-1≠0,

составленный из коэффициентов при х₁ и х₂. Тогда х₁и х₂ – главные неизвестные, которые мы выразим через остальные – свободные неизвестные. Для этого оставим главные неизвестные слева, а свободные перенесем вправо.

 

Тогда

х₁=-5+х₃+2х₄,

х₂=-7+3х₃+х₄,

х₃, х₄ – любые числа.

б) В матрице системы

А=

Выберем ненулевой минор D порядка 2=rangA. Пусть минор

D=

составлен из коэффициентов при х₂ и х₄ в первом и втором уравнениях. Тогда х₂ и х₄ – главные неизвестные. Оставим в системе уравнения, соответствующие строкам минора D, и оставим в левой части уравнений главные неизвестные. Получим крамеровскую систему

 

По формулам Крамекера

, ,

где Δ=D=-2,

Δ₁= =9 ,

Δ₂= = ,

находим

,

,

любые числа.

Пример 3. Исследовать систему на сходимость и найти решения в зависимости от значений λ:

 

Решение. Преобразуем расширенную матрицу В системы.

В= ~ . .

Если -3+2λ=0 (т.е. λ= ), то

В~ ~ .

В этом случае ранг матрицы А системы уравнений равен двум, а ранг расширенной матрицы В системы равен 3. По теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

Пусть λ≠ . Тогда

В~ .

Если λ=3, то

В~ .

ТогдаrangA=2, rangB=3. Система несовместна.

Еслиλ≠3, тоrang A=rang B=3. Система совместна и имеет единственное решение, которое найдем из системы

 

, , .

Ответ: система несовместна при λ= или λ=3, при λ≠ и λ≠3 система имеет единственное решение , , .

ЗАДАНИЕ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

1. Исследовать системы на совместность и решить двумя способами:

а) по правилу Крамера;

б) матричным методом.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

1.9.

1.10.

1.11.

1.12.

1.13.

1.14.

1.15.

2. исследовать систему на совместность и решить тремя способами:

а) методом Гаусса;

б) по правилу Крамера;

в) матричным методом.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

2.11. 2.12.

2.13. 2.14.

2.15.

3. Исследовать системы на совместность. Совместную систему решить методом Гаусса.

3.1.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.
3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

4. Решить однородную систему линейных уравнений. Найти фундаментальную систему решений и выразить общее решение через фундаментальную систему решений.

4.1. 4.2.

4.3. 4.4.

4.5. 4.6.

4.7. 4.8.

4.9. 4.10.

4.11. 4.12.

4.13. 4.14.

4.15.

 

Лабораторная работа №7

Многочлены

Вопросы для самоконтроля

1. ПОСТРОЕНИЕ КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ.

Последовательности, их сложение и умножение. Проверка знаком кольца. Введение переменного х. Запись многочлена по возрастающим и убывающим степеням х. Степень многочлена. Степень суммы и произведения многочленов.

2. ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ В КОЛЬЦЕ МНОГОЧЛЕНОВ.

Доказательство теоремы о делении с остатком. Неполное частное, остаток.

3. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ.

Делимость многочленов и его свойства. Наибольший общий делитель и его нахождение с помощью алгоритма Евклида.

4. ВЫРАЖЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО ОБЩЕГО ДЕЛИТЕЛЯ ЧЕРЕЗ ИСХОДНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ.

Доказательство теоремы о выражении НОД через исходные многочлены. Взаимно простые многочлены. Следствие теоремы для взаимно простых многочленов. Теорема о делимости произведения двух многочленов на многочлен, взаимно простой с одним из сомножителей.

5. НЕПРИВОДИМЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ.

Определение неприводимого многочлена. Зависимость неприводимости от поля. Свойства неприводимых многочленов. Однозначность разложения на неприводимые множители в кольце многочленов. Каноническое разложение многочлена и нахождение НОД.

6. ПРОИЗВОДНАЯ МНОГОЧЛЕНА.

Определение производной многочлена и ее вычисление. Кратность неприводимого множителя и ее понижение при дифференцировании. НОД многочлена и производной.

7. КОРНИ МНОГОЧЛЕНА.

Определение корня многочлена. Теорема Безу. Кратность корня и ее понижение при дифференцировании. Число корней многочлена и его степень. Отсутствие кратных корней многочлена.

8. СХЕМА ГОРНЕРА.

9. МНОГОЧЛЕН НАД ПОЛЕМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

Определение алгебраически замкнутого поля. Теорема Гаусса и ее следствия. Неприводимые многочлены над полем комплексных чисел. Формулы Виета.

10. МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Теорема о сопряженности комплексных корней многочлена с действительными коэффициентами и ее следствия. Разложение многочлена на множители.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. В кольце Z₅[x] найти частное q(x) при делении

f(x)=x⁴+2x³-3x²-4x-1 на g(x)=x³+x²-x-1. Указать остаток r(x).

Решение. Напомним, что кольцо Z₅ состоит из элементов , , , , . Многочлены f(x) и g(x) можно записать следующим образом:

f(x)=x⁴+ x³+ x²+x+ ,

g(x)=x³+x²+ x+ .

Разделим f(x) на g(x):

x⁴+ x³+ x²+x+ x³+x²+ x+ x⁴+x³+ x²+ x x+

x³+ x²+ x+

x³+ x²+ x+

x²+ x

Следовательно, f(x)=g(x)q(x)+r(x), где частное q(x)=x+1, а остаток r(x)= x²+ x.

Ответ: q(x)=x+1, r(x)= x²+ x.

Пример 2. Найти НОД многочленов f(x)=3x⁴+8x³+6x²+3x-2 и g(x)=3x⁴-x³-9x²-3x+2 и выразить его через эти многочлены.

Решение. Используем алгоритм Евклида. Делим f(x) на g(x) с остатком:

3x⁴+8x³+6x²+3x-2 3x⁴-x³-9x²-3x+2

3x⁴- x³ - 9x² - 3x -2 1

9 x³+15x²+6x-4

Далее делим g(x) на первый остаток:

3x⁴ − x³−9x²−3x+2 9 x³+15x²+6x-4

3x⁴+5x³+2x²− x х−

-6x³-11x²− x+2

-6x³-10x²−4x+

-x²+ x-

Теперь делим первый остаток на второй:

9 x³+15x²+6x −4 -x²+ x-

9 x³−21x²+6x -9х-36

36х² −4

36х²−84х+24

84х-28

Делим второй остаток на третий:

-x²+ x- 84х-28

-x²+ x х+

2х

2х

Итак, последний отличный от нуля остаток, т.е. НОД (f(x),g(x)) равен 84х-28. Найдем теперь его представление через f(x) и g(x). Вначале запишем последовательность Евклида для данных многочленов f(x) и g(x):

f(x)=1∙g(x)+r₁(x),

g(x)=( х− )r₁(x)+r₂(x),

r₁(x)=(-9x-36)r₂(x)+r₃(x).

Заметим, что r₃(x)=НОД(f(x),g(x)). Теперь будем двигаться в алгоритме Евклида снизу вверх:

r₃(x)=r₁(x)+(9x+36)r₂(x)=r₁(x)+(9x+36)(g(x)-( х− )r₁(x))=r₁(x)+(9x+36)g(x)- -(9x+36)( х− )r₁(x)=(9x+36)g(x)+(-3x²-6x+25)r₁(x)=(9x+36)g(x)+(- 3x²- -6x+25)(f(x)-g(x))=(-3x²-6x+25)f(x)+( 3x²+15x+11)g(x).

Ответ: НОД(f(x),g(x))=84x-28=(-3x²-6x+25)f(x)+( 3x²+15x+11)g(x).

Пример 3. Разложить многочлен f(x)=x⁴+3x³+2x²+2x-4 на неприводимые множители над полями R и С.

Решение. найдем все корни многочлена f(x). Возможные целые корни многочлена f(x) являются делителями свободного члена (-4). Легко проверить, что х¹=-1 и х²=2 – корни многочлена f(x). Следовательно, f(x) делится на (х-2)(х+1)=х²-х-2.

x⁴+3x³+2x²+2x−4 х²−х-2

x⁴−x³−2x² х²−2х+2

−2х³+4х²+2х−4

−2х³+2х²+4х

−2х²−2х−4

−2х²−2х−4

Решая уравнение х²−2х+2=0, находим остальные корни: х₃=1+i, x₄=1-i.

а) Так как неприводимыми над полем С являются только многочлены первой степени, то искомое разложение f(x) над С имеет вид

f(x)=(x+1)(x-2)(x-1-i)(x-1+i).

б) Неприводимыми над полем R являются многочлены первой степени и многочлены второй степени с отрицательным дискриминантом. Поэтому разложение f(x) на неприводимые множители над полем R имеет вид

f(x)=(x+1)(x-2)(x²-2x+2).

Пример 4. Разложить многочлен f(x)=x⁴+2x³+3x²+5x+1 по степеням (х-1).

Решение. Чтобы найти коэффициенты разложения многочлена f(x) по степеням х-1, нужно по схеме Горнера поочередно разделить с остатком на х-1 многочлен f(x), затем первое неполное частное, второе неполное частное и т.д. получаемые при этом остатки и являются искомыми коэффициентами.

 

Искомое разложение многочлена f(x) имеет вид

f(x)=12+21(x-1)+15(x-1)²+6(x-1)³+(x-1)⁴

Замечание. Остаток при делении многочлена f(x) на х-а является значением многочлена f(x) при х=а. например, в примере 4 значение f(1)=12.

Из примера 4 легко найти значения производных многочлена f(x) при х=1, не вычисляя самих производных. Остатки при делении f(x) на х-1 связаны с производыми

=6, =1.

Тогда f”(1)=21, f’’(1)=30, f’’’(1)=36, f’’’’(1)=24.

Пример 5. Определить коэффициенты a и b так, чтобы многочлен g(x)=ax⁴+bx³+1 делился на (х+1)².

Решение. Необходимо найти а и b так, чтобы (-1) являлась двукратным корнем многочлена g(x). Следовательно, должны выполняться условия