Операції над цілими числами у двійковій системі числення. Доповнювальний, прямий і зворотній код.

Правила виконання арифметичних дій над двійковими числами задаються таблицею1. Правила арифметики в усіх позиційних системах аналогічні.

Таблиця 1. - Правила виконання арифметичних дій над двійковими числами

Двійкове додавання	Двійкове віднімання	Двійкове множення
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10	0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1	0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1

Додавання двох чисел в двійковій системі можна виконувати стовпцем, складаючи або дві цифри молодшого розряду, або дві цифри чисел, які додаються, в даному розряді і одиниці перенесення з сусіднього молодшого розряду.

Наприклад,

+ 101101.01

11011.01

-------------------

1001000.10

Числа в двійковій системі віднімаються аналогічно числам в десятковій системі. При відніманні чисел в даному розряді, якщо цифра, що зменшується, менше цифри числа, що віднімається, позичають одиницю з наступного старшого розряду. При цьому одиниця, що позичається із старшого розряду, рівна двом одиницям даного розряду.

Наприклад,

10101.11

- 1011.01

---------------

1010.10

При здійсненні обчислень, звичайно, доводиться мати справу не тільки з цілими невід’ємними числами, але також з від’ємними.

У програмуванні виділяють два типи чисел: беззнакові та знакові. Всі беззнакові числа вважаються невід’ємними, і всі їх розряди використовуються для задання абсолютної величини числа. Так, за допомогою одного байту можна закодувати цілі беззнакові числа від 0 до 255.

Для представлення ж від’ємних чисел слід виділити один біт для знаку. Як правило, це старший біт. Якщо один біт в числі виділяється під його знак, таке число називається знаковим. Як правило, 0 у старшому (крайньому зліва) біті відповідає додатнім числам, а 1 - від’ємним.

Представлення від’ємних чисел залежить від кількості байтів, яка відводиться на число. Для визначеності будемо розглядати однобайтові знакові числа.

Виділяють три основних способи представлення від’ємних чисел:

· прямий код, який утворюється з коду відповідного додатного числа шляхом встановлення знакового біта в 1;

· обернений код, який утворюється шляхом заміни значення кожного біта на протилежне;

· додатковий код, який утворюється шляхом додавання 1 до молодшого біта оберненого коду.

 

Приклад. Розглянемо число -3. Двійковим еквівалентом відповідного додатного числа 3 є 00000011.

Прямий код. Встановимо знаковий біт в 1 (нагадаємо, що 1 в старшому біті знакового числа сигналізує про його від’ємність). Всі інші біти залишаються без змін. В результаті вийде 10000011.

Обернений код. Замінимо кожний біт на протилежний (1 на 0; 0 на 1); результатом буде 11111100.

Додатковий код. Додамо 1 до оберненого коду; в результаті вийде 11111101. Зверніть увагу, що якщо розглядати послідовність 11111101 як беззнакове, а не як знакове число, вона інтерпретується як додатнє число 253.

 

Приклад 1. Числа А, –А, С и –С представити в прямому, оберненму (зворотньому), доповнюваному кодах.

А = 307₁₀ = 100110011₂ С = 91₁₀ = 1011011₂

[A]_пр = [A]_об = [A]_дк = 0|000000100110011

[–A]_пр = 1|000000100110011

[–A]_об = 1|111111011001100

[–A]_дк = 1|111111011001100+1 = 1|111111011001101

[C]_пр = [C]_об = [C]_дк = 0|000000001011011

[–C]_пр = 1|000000001011011

[–C]_об = 1|111111110100100

[–C]_дк = 1|111111110100100+1 = 1|111111110100101

Приклад 2.Обчислити: А + B, A – B, –A – B. Нехай А=160₁₀, B=45₁₀.

[A]_дк = 0|000000010100000

[–A]_дк = 1|111111101100000

[B]_дк = 0|000000000101101

[–B]_дк = 1|111111111010011

	А + B			A – B			–A – B
+	0|000000010100000		+	0|000000010100000		+	1|111111101100000
0|000000000101101		1|111111111010011		1|111111111010011
	0|000000011001101			0|000000001110011			1|111111100110011

 

Приклад 3. Виконати додавання чисел, представленних в машинних кодах: A+C; –A+C; A+(– C); –A+(– C).

A = 307₁₀ =100110011₂ С = 91₁₀ = 1011011₂

[A]_дк = 0|000000100110011

[–A]_дк = 1|111111011001101

[C]_дк = 0|000000001011011

[–C]_дк = 1|111111110100101

	А + C			–A + C
+	0|000000100110011		+	1|111111011001101
0|000000001011011		0|000000001011011
	0|000000110001110			1|111111100101000
	А + (– C)			–A + (– C)
+	0|000000100110011		+	1|111111011001101
1|111111110100101		1|111111110100101
	0|000000011011000			1|111111001110010