Реферат Курсовая Конспект
Метод Рунге-Ромберга - раздел Образование, Абсолютна і відносна похибки Загальна Ідея Методу Така: Маємо Деяку Наближену Формулу ...
|
Загальна ідея методу така: маємо деяку наближену формулу (х,к) для обчислення величини z(х) за її значеннями на рівномірній сітці з кроком h, а залишковий член цієї формули
. (6.14)
Наприклад, , —задана функція. Нехай , ,
,
. Тут p = 2. Якщо скористатися тією самою наближеною формулою для обчислення значення z в точці х, але використовуючи сітку з кроком rh, дістанемо
(6.15)
Віднявши (6.14) від (6.15), дістанемо першу формулу Рунгедля оцінки похибки
. (6.16)
Перший доданок у (6.16) є головним членом похибки, тобто розрахунок на другій сітці дає змогу оцінити похибки на першій сітці з точністю до членів вищого порядку. Виключаючи за допомогою (6.16) величину з (6.14), дістанемо другу формулу Рунге
, (6.17)
яка дає результат з вищим порядком точності, ніж (6.14). Іноді уточненнярезультату за формулою (6.17) називають уточненням за Річардсоном. Розглянемо приклади застосування описаного вище процесу для підвищення точності в задачі чисельного диференціювання.
Приклад 1 Нехай функція задана таблицею. Обчислити у' (3).
0,000 0,301 0,478 0,602 0,699 |
Розв’язання. Скориставшись формулою при , дістанемо . Збільшуючи крок удвічі (), дістанемо .
За формулою (6.16) при р = 2 , що лише на 2% відрізняється від шуканого значення у'(3)= 0,145.
Приклад 2 За допомогою методу Рунге вивести формулу чисельного диференціювання порядку з формули більш низького порядку .
Розв’язання. Маємо
, .
Порядок точності цих формул , а коефіцієнт збільшення кроку , тому уточнення за методом Рунге дає формулу
.
Як бачимо, для обчислення результату більш високого порядку точності не обов'язково використовувати безпосередньо формули високого порядку точності; можна виконати обчислення за простими формулами низької точності на різних сітках і потім уточнити результат за методом Рунге. Такий спосіб має перевагу ще й тому, що величина поправки (6.16) дає апостеріорну оцінку точності.
Метод Рунге узагальнюється на довільну кількість сіток.
Приклад 3 За допомогою розвинення в ряд Тейлора для функції і дістаємо
. !
, . (6.18)
Приклад 4 Для односторонньої різницевої похідної при , маємо
, !,.
Нехай розрахунки виконано на різних сітках . Тоді із залишкового члена (6.18) можна вилучити складових. Для цього перепишемо (6.18) у вигляді
, , .
Це система лінійних рівнянь відносно величин і , . Використавши формули Крамера, дістанемо уточнений розв'язок за формулою Ромберга
, (6.19)
де .
Ця формула виражає через обчислені зточністю до величини з більш високою точністю (тобто розрахунок на кожній новій сітці дає змогу підвищити порядок точності на одиницю). Розкладаючи визначник за першим стовпчиком, формулу для можна записати також у вигляді ,
де .
Функції мають, очевидно, такі дві властивості:
а) , - символ Кронекера;
б) - дійсні коефіцієнти, тобто є многочленами від . Тому функція
(6.20)
є інтерполюючою функцією для (- дійсні коефіцієнти), а величина
є значенням цієї функції при , причому не належить найменшому інтервалу , що охоплює всі точки . З цієї причини у випадку методу Рунге - Ромберга говорять також про екстраполяцію. Вживають також терміни «екстраполяція за Річардсоном», «екстраполяція до нуля», «екстраполяція до кроку нуль».
Оскільки система функцій не при всіх і не на довільному інтервалі буде системою Чебишева, то інтерполяційна функція (6.20) існує не для будь-якої послідовності . Але для послідовностей, які найчастіше трапляються на практиці, а саме:
а) (послідовність Рунге - Ромберга);
б) можна довести, що , і тим самим існування многочлена Р(х) гарантується.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
С... Розділ Основні проблеми чисельного розв язання Класифікація похибок...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод Рунге-Ромберга
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов