IV. Функциональные ряды - раздел Образование, Ю.Д. Дмитриев МАТАНАЛИЗ Пусть ...
Пусть последовательность функций, определенных на некотором множестве Х.
Определение. Ряд вида
(39)
членами которого являются функции называется функциональным.
Каждому значению соответствует числовой ряд Он может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если ряд сходится, точка называется точкой сходимости функционального ряда (39).
Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости. Сходимость функционального ряда в каждой точке называется поточечной сходимостью.
Определение. Функциональный ряд (39) называется равномерно сходящимся в области к функции , если для любого существует номер , не зависящий от , такой, что
где n-я частичная сумма ряда, сумма ряда.
Теорема (признак Вейерштрасса). Если члены ряда удовлетворяют неравенствам и ряд сходится, то функциональный ряд сходится равномерно в области .
Числовой ряд , члены которого удовлетворяют неравенствам теоремы, называется мажорантой (мажорантным рядом) для функционального ряда , а сам функциональный ряд называется в этом случае мажорируемым на множестве .Из признака Вейерштрасса следует, что условие мажорируемости ряда является достаточным для его равномерной сходимости.
Сформулируем свойства равномерно сходящихся рядов:
1. (О непрерывности суммы функционального ряда)
Если на множестве функциональный ряд (39) с непрерывными членами сходится равномерно, то его сумма непрерывна на .
2. (О почленном интегрировании)
Если функциональный ряд (39) с непрерывными членами сходится к функции равномерно на отрезке , то его можно почленно интегрировать на любом отрезке , и справедливо неравенство:
причем ряд сходится равномерно на отрезке .
3. (О почленном дифференцировании)
Если функциональный ряд (39) с непрерывно дифференцируемыми на отрезке членами сходится к функции , а ряд сходится равномерно на , то ряд (39) сходится равномерно на , его сумма - непрерывно дифференцируемая функция, и справедливо неравенство:
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования... НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ... ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
IV. Функциональные ряды
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
МАТАНАЛИЗ 3
Методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям 131000 «Нефтегазовое дело»,
130101 «Прикладная геоло
МАТАНАЛИЗ 3
Методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлениям и специальностям 131000 «Нефтегазовое дело»,
130101 «Прикладная геоло
Неопределенный интеграл
Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование простей
Определенный интеграл
Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Основные свойства определенного интеграла.
Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
Вычисление опр
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого
Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование заключается в том, чтобы преобразовать подынтегральное выражение, если это возможно, так чтобы получился дифференциал
Алгоритм интегрирования рациональной дроби
1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде:
Длина дуги кривой
Длина L дуги АВ кривой, заданной уравнением , где точка А соответствует значению
Объем тела
Пусть требуется найти объем V тела, причем известна площадь сечения тела, плоскостями, перпендику
Аналогично, вокруг оси 0у.
(16)
Пример 35. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченно
Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение. Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями.
Определение
Методы разложения функций в ряд Тейлора
Если для какой-нибудь функции формально составлен ряд Тейлора, то чтобы доказать, что этот ряд представляет данную функцию нужно, либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-ниб
Новости и инфо для студентов