Абсолютна і відносна похибки

Якщо а<А, то говорять, що число ає наближеним значенням точного числа А з недостачею; якщо а>А - наближеним значенням з надлишком[9, 13].

Абсолютна величина різниці між точним числом Аі його наближеним значенням а називається абсолютною похибкою наближеного числа а.

(1.1)

Якщо точне число А відомо, тоді абсолютна похибка наближеного числа легко знаходиться по формулі (1.1).

 

Приклад. Нехай відомо точне число А=784,2737, а його наближене значення a=784.274; тоді абсолютна похибка

.

Якщо точне число Аневідомо і обчислити абсолютну похибку за формулою (1.1) неможливо, то в таких випадках користуються поняттям про границю абсолютної похибки, що задовольняє нерівності

. (1.2)

Число, яке перевищує абсолютну похибку (або в крайньому випадку дорівнює їй) називається граничною абсолютною похибкою. Отже, якщо - гранична абсолютна похибка та - абсолютна похибка, то:

. (1.3)

Значення точного числа Азавжди знаходиться в межах:

(1.4)

Вираз є наближене значення числа А з недостачею, а - наближене значення числа А за надлишком. Точне значення числа А записується так:

(1.5)

Приклад 1. Якщо довжина відрізка l=184 см виміряна з точністю до 0.05 см, то пишуть l=1840.05 см, де l= 0.05см, а точна значення довжини відрізка l знаходиться у наступних границях: 183.95 см l 184.05 см.

Але по абсолютній і граничній абсолютній похибкам неможливо зробити висновок про те, яке вимірювання проведено точніше. Розглянемо приклад.

Приклад 2. Нехай при вимірюванні книжки і довжини стола були одержані результати: (см) і (см). І в першому, і в другому випадку гранична абсолютна похибка складає 0,1 см. Але друге вимірювання було проведено більш точніше, ніж перше. Для того щоб визначити якість виконаних вимірів, необхідно визначити, яку долю складає абсолютна або гранична абсолютна похибка від вимірюваної величини. В зв’язку з цим вводиться поняття про відносну похибку.

Відносною похибкоюнаближеного числа а називається відношення абсолютної похибки до модуля точного числа А (А0), тобто

, (1.6)

звідки

. (1.7)

Число , яке перевищує відносну похибку, називається граничною відносною похибкою :

. (1.8)

Із співвідношень (1.6) і (1.8) слідує, що

.

Із визначення граничної відносної похибки слідує, що . Тоді:

, (1.9)

і за гранично-відносну похибку наближеного числа а можна прийняти

(1.10)

Враховуючи, що точне значення А в багатьох випадках невідомо, рівняння (1.8) і (1.9) можна записати так:

(1.11)

(1.12)

Повертаючись до прикладу 2, знайдемо гранично-відносні похибки вимірів книги та столу :

, або 0,35%

, або 0,09%

Таким чином, вимір стола був проведений найбільш точно. Очевидно, що як відносна похибка, так і гранична відносна похибка являють собою числа, не залежні від одиниць, в яких виражаються результати вимірів.

Приклад 3. Визначити (в процентах ) граничну відносну похибку наближеного числа а = 35,148 ± 0,00074

Розв‘язок.Використаємо формулу (1.11). Тоді:

Приклад 4. Визначити, яка рівність точніша: = 13/19 0,684 або = 7,21

Розв‘язок. Для знаходження граничних абсолютних похибок беремо числа і з великим числом десяткових знаків: 13/19 0,68421; 7,2111. Визначаємо граничні абсолютні похибки, заокруглюючи їх з надлишком:

;

.

Знаходимо граничні відносні похибки:

;

.

Друга рівність являється більш точною, оскільки .

Приклад 5. Число 45,3 отримано округленням. Точне значення числа невідомо, однак, користуючись правилами округлення чисел, можна сказати, що абсолютна похибка не перевищує менше чи дорівнює 0,05.

Отже границею абсолютної похибки (граничної абсолютної похибки) можна вважати 0,05. Записують це так: 45,3±0,05 означає те ж саме. Подвійний знак ± означає, що відхилення наближеного значення числа від точного можливо в обидва боки. Як границю абсолютної похибки беруть по можливості найменше число.