Распространение и дифракция света. Интеграл Френеля-Кирхгофа

Электромагнитное поле в произвольной точке пространства в заданный момент времени t может быть описано с помощью скалярного волнового уравнения

которое получают из уравнений Максвелла, устанавливающих связь между производными по координатам и времени от величин, характеризующих электромагнитное поле. Здесь c- скорость света; Ñ - оператор Лапласа. Для монохроматического света с частотой n решением волнового уравнения будет выражение, описывающее синусоидальное скалярное поле

(6)

Относительно таких волн волновое уравнение преобразуется к простейшему виду

(7),

где k= 2np/c - волновое число. Наиболее простыми решениями уравнения (7) являются те, которые описывают однородную плоскую и симметричную сферическую волны.

Рассмотрим распространение плоской волны в пространстве. Волну называют плоской, если ее амплитуда и фаза в любой момент времени постоянны по всей плоскости. Уравнение такой волны имеет вид

(8),

где n - единичный вектор, нормальный к рассматриваемой плоскости; r - радиус-вектор точки М(x, y), принадлежащей этой плоскости (рис. 1). Плоская волна имеет комплексную амплитуду

(9),

где A₀ - постоянная амплитуда волны.

Пусть имеются две параллельные плоскости P₁, и Р₂, описываемые уравнениями

,

где r₁,r₂ - радиусы-векторы текущих точек плоскостей P₁ и P₂. Допустим, что C₂ > C₁, т.е. плоскость P₂ относительно P₁ смещена по направлению вектора-нормали n (рис. 2). При t=t₁ в плоскости Р₁, световая волна согласно (6) и (9) будет иметь фазу j=2pnt₁-knr₁=2pnt₁-kC₁ Определим момент времени t=t₂, при котором такая же фаза будет в плоскости P₂. Для этого запишем аналогичное уравнение относительно t₂ j=2pnt₂-knr₂=2pnt₂-kC₂. Из двух последних уравнений найдем t₂=t₁+Dt, где Dt=(C₂ -C₁)/C>0. Следовательно, t₂>t₁. Таким образом, плоскости равных фаз с течением времени перемещаются параллельно самим себе, причем направление перемещения совпадает с направлением вектора n, т. е. плоская волна, описываемая выражением (9), распространяется по направлению вектора нормали плоскости равной фазы.

Если cosa, cosb, cosg - направляющие косинусы вектора n (см. рис. 1), то комплексная амплитуда плоской световой волны

(10),

где (11)

 

 

Рис. 1. Плоский волновой фронт в прямоугольной системе координат

Рис. 2. Распространение плоской волны

 

Эти величины - пространственные частоты, обратные периодам волны, измеряемым соответственно по осям x, y, z . Пространственные частоты часто выражают через углы a₁=90 - a, b₁= 90 - b,g₁=90-g

(11).

Поскольку, с учетом (11) получим следующее соотношение . Решив данное уравнение относительно z, определим

(12).

Подставив это выражение в (10), найдем комплексную амплитуду плоской волны

(13)

Большой интерес представляют параксиальные волны, для которых направление распространения составляет очень маленький угол с осью z (угол g мал, а a=b=90° ). В этом случае комплексная амплитуда плоской волны

(14) ,

так как

Рассмотрим распространение сферической волны. Для этого волновое уравнение (7) представим в сферической системе координат r, q, j (рис.2), которые связаны с декартовыми координатами следующими соотношениями . Если то волновое уравнение (7) в сферической системе координат запишется в виде . Для расходящейся сферической волны

или

, (15)

где А - некоторая постоянная. Поверхность равных фаз данной волны определяется из условия kr=const, откуда r=const. Это означает, что поверхностью равных фаз, т. е. волновой поверхностью, является сфера. Направление распространения волны совпадает с направлением радиуса-вектора r. Параксиальное приближение для сферической волны имеет место в том случае, когда . При этом

.

Поэтому комплексная амплитуда сферической волны в параксиальном приближении (16).

Проанализируем дифракцию световой волны на транспаранте с периодическим синусоидальным распределением амплитудного пропускания. Подобные транспаранты называют дифракционными решетками. Пусть плоская световая волна амплитудой А₀, распространяющаяся в направлении положительной полуоси z, падает на транспарант, находящийся в плоскости z=0. Допустим, что транспарант имеет амплитудное пропускание ,

являющееся периодической функцией от y с пространственной частотой h, а t₀ и t₁ - вещественные постоянные. При t₀³ t₁ >0 транспарант не вносит фазового сдвига. Непосредственно за транспарантом комплексная амплитуда волны

=

(17).

Первый член данного выражения описывает плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси z, как и падающая волна, второй и третий члены - плоские волны, направления распространения которых с осью z составляют углы j₁= -j₂=arcsin(lh). Таким образом, в результате дифракции часть падающей на транспарант световой волны отклоняется от первоначального направления распространения.

 

Рис. 3. Связь между координатами сферической и прямоугольной систем координат

Рис. 4. Дифракция плоской волны на синусоидальной дифракционной решетке

 

С помощью соотношения (13) можно определить комплексную амплитуду света при любом удалении от транспаранта, например при z=d:

(18).

Для первого члена выражения y=h=0, для второго и третьего членов y =0. Из (18) следует, что если lh®1, то возникают поверхностные волны. Они будут затухающими при l>1¤h, т. е. когда длина волны больше периода дифракционной решетки, поскольку при этом становится мнимой величиной, а - экспоненциальным множителем, убывающим с увеличением d.

Амплитудное пропускание двумерной дифракционной решетки в общем случае описывается комплексной периодической функцией двух переменных x и y. Однако его также легко, представить в виде суммы простейших синусоидальных функций путем разложения в ряд Фурье

.

Дифрагированная на таком транспаранте световая волна представляет собой суперпозицию бесконечного числа плоских волн с амплитудами, пропорциональными соответствующим коэффициентам разложения t_nm и направлениями распространения, определяемыми и .

Следовательно, суммарная амплитуда дифрагированных волн в плоскости z=d

.

В общем случае амплитудное пропускание дифрагирующего объекта является комплексной непериодической функцией двух переменных x и y, поэтому t(x,y) заменяют интегралом Фурье. Комплексную амплитуду дифрагированной волны в плоскости z=d при этом также выражают с помощью интеграла

, (19)

где T(x,h) - преобразование Фурье от t(x,y), причем интегрирование производят в области, удовлетворяющей неравенству y² +h²£1¤l² (вне этой области волны быстро затухают при удалении от транспаранта). Следовательно, можно сделать следующее заключение: если плоская волна амплитудой A₁, распространяющаяся в направлении оси z, падает на помещенный в плоскости z=0 транспарант с амплитудной функцией пропускания t(x,y), то спектр комплексной амплитуды в плоскости z=d имеет вид

(20).

Для параксиальных волн (x,h<<1) , пользуясь приближением , справедливым при малых значениях y и h, выражение (20) можно представить, следующим образом:

.(21)

Ввиду того, что фаза в выражении (21) является параболической функцией пространственных частот, это приближение называют параболическим. Согласно правилу Рэлея искажение фазы волны не должно превышать p¤2, т. е. устанавливаются границы применимости параболического приближения [2]: (22)

Решение задачи дифракции можно представить также с помощью интеграла Френеля Кирхгофа [3]:

, (23

где - x_0, y_0, и x, y - координаты точек, принадлежащих плоскостям z=0 и z=d. Угол между положительным направлением оси z и отрезком прямой r_od, cosq_zr - называют коэффициентом наклона. Формулы (19) и (23) на расстоянии z=d от плоскости дифракции дают один и тот же результат [2]. Интеграл (23) является математическим выражением известного принципа Гюйгенса-Френеля.

 

 

Рис. 5. К решению задачи дифракции с помощью интеграла Френеля-Кирхгофа