Этапы развития логики

Первый этап	Второй этап	Третийэтап
Аристотель (384-322 гг. до н.э.)	Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716)	Джордж Буль (1815-1864)
Изучал правила мышления, отвечая на вопрос, «как мы рассуждаем». Впервые дал систематическое изложение формаль­ной логики	Обосновал необходимость создания логического языка, высказал идею заменить про­стые рассуждения действиями со знаками по соответствую­щим правилам, построил пер­вые логические исчисления	Ввел алфавит, орфо­графию, грамматику логики. Впослед­ствии это позволило: описать функциони­рование аппаратных и программных
Возникновение фор­мальной логики	Заложено появление математической логики	Математическая ло­гика как самостоя- тельная дисциплина

Основные формы абстрактного мышления:

— понятие — форма мышления, в которой отражаются суще ственные свойства объекта или класса однородных объектов;

— суждение — форма мышления, в которой что-либо утверж. дается или отрицается об объектах, бывает истинное или ложной

— умозаключение — форма мышления, посредством которой из истинных суждений (посылок) по определенным правилам пo думается новое суждение (заключение).

Математическая логикаизучает логические связи и отноше-ния, лежащие в основе логического (дедуктивного) вывода, с ис пользованием языка математики.

 

 

Высказывание— повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Высказывания бывают простые и сложные.

Основная задача логики высказываний заключается в том, что-бы определить истинность или ложность сложного высказывания на основании истинности или ложности простых высказываний, из которых состоит сложное высказывание.

Простые высказывания заменяют логическими переменны­ми,которые обозначаются большими латинскими буквами. Если высказывание истинно, то записывают А = 1,а если ложно, то А = 0.

Логическая операция— действие, позволяющее построить сложное высказывание из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью опреде­ляется значениями истинности исходных высказываний.

К основным логическим операциям относятся инверсия, конъ­юнкция и дизъюнкция. Другие логические операции реализуются через основные операции.

Инверсия(от лат. inversio — переворачивание), или логическое отрицание.

Определение (свойство инверсии): инверсия высказывания ис­тинна, если высказывание ложно, и, наоборот, инверсия выска-зывания ложна, если высказывание истинно.

Логическая связка: «не»; «неверно, что».

Образование логического отрицания: присоединение частицы "не" к сказуемому простого высказывания А или добавлением снов «Неверно, что» в начале высказывания А.

Таблица истинности:

А	Не А
	о

Графическая иллюстрация (диаграмма Эйлера—Венна):

Арифметическая модель: 1 — А

Законы логики: двойного отрицания А=А

отрицания 0=1 1=0

Условное обозначение логического элемента «НЕ»:

Конъюнкция (от лат. conjunctio- связываю), или логическое

умножение.

Определение (свойство конъюнкции): конъюнкция двух выска-зываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

Логическая связка: «и»; «а»; «но»; «хотя»; «однако». Образование логической конъюнкции: соединение двух высказ ваний А и В в одно с помощью союза «и». Обозначение: &, •, л, И, AND. Таблица истинности:

А	В	А&В

Графическая иллюстрация (диаграмма Эйлера-Венна);

Арифметическая модель: А • В Законы логики: противоречия А & не А = 0

равносильности А &, А = А

исключения констант А & 0 = 0

Условное обозначение

логического элемента «И».

Дизъюнкция (от лат. disjunctio — различаю), или логическое сложение.

Определение (свойство дизъюнкции): дизъюнкция двух вы­казываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Логическая связка: или.

Образование логической дизъюнкции: соединение двух высказы-ваний А и В в одно с помощью союза «или», употребляемого в не исключающем, а объединяющем смысле.

Обозначение: +, v, ИЛИ, OR.

Таблица истинности:

А	В	АvВ

Графическая иллюстрация (диаграмма Эйлера—Венна):

Арифметическая модель: А + В —А • В Законы логики: исключенного третьего Av не A= 1 равносильности AvA=A

исключения констант .4vl = l Av0=A

Условное обозначение логического элемента «ИЛИ»:

Строгая дизъюнкция (исключающее ИЛИ).

Определение (свойство строгой дизъюнкции): строгая дизъ­юнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны или оба ложны.

Логическая связка: «либо».

Обозначение: v, XOR

аблица истинности:

А	В	А xor В

Графическая иллюстрация (диаграмма Эйлера—Венна):

Арифметическая модель: (А — В)²

Импликация(от лат. implicatio - тесно связываю), или логи-ческое следование.

Определение (свойство импликации): импликация двух выска­зываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказы­вания посылки следует ложное следствие.

Логическая связка: «если..., то...»; «из... следует ...»; «... влечет ...».

Образование импликации: соединение двух высказываний А и В в одно выполняется таким образом, что «если А, то В»; «из А сле­дует В»; «А влечет В».

Обозначение: ->, =>

Таблица истинности:

А	В	А=>В
	0	]

Графическая иллюстрация (диаграмма Эйлера—Венна):

Арифметическая модель: 1 ~А + А- В Законы логики: контрапозиции А—>В=В- А

Эквивалентность(от фран. aequivalens — равноценное), или логическое равенство.

Определение (свойство эквивалентности): эквивалентность двух доказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказыва-|ия истинны или оба ложны.

Логическая связка: «...тогда и только тогда, когда...»; «...в том и только в том случае, когда...»; «...необходимо и достаточно...».

Образование эквивалентности: соединение двух высказываний и В водно выполняется таким образом, что «А тогда и только тогда, когда В»; «А в том и только в том случае, когда В»; «А не­обходимо и достаточно для Я». Обозначение: <->, = , <=>, -Таблица истинности:

 

Арифметическая модель: (А — В)²

Импликация(от лат. implicatio - тесно связываю), или логи-ческое следование.

Определение (свойство импликации): импликация двух выска­зываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказы­вания посылки следует ложное следствие.

Логическая связка: «если..., то...»; «из... следует ...»; «... влечет ...».

Образование импликации: соединение двух высказываний А и В в одно выполняется таким образом, что «если А, то В»; «из А сле­дует В»; «А влечет В».

Обозначение: ->, =>

Таблица истинности:

А	В	А^В
	0	]

Графическая иллюстрация (диаграмма Эйлера—Венна):

Арифметическая модель: 1 ~А + А- В Законы логики: контрапозиции А—>В=В- А

НОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

А	В	А<=>В

Графическая иллюстрация (диаграмма Эйлера—Венна):

Арифметическая модель: 1—(А-В)² Законы логики: А<=> В=(А&.В)v(А&В)

Инверсия истинна	тогда и   тогда когда	высказывание ложно
Дизъюнкция ложна	ложны
Конъюнкция истинна	истинны
Дизъюнкция истинна	истинно
Конъюнкция ложна	ложно
Импликация ложна	из истинноговысказывания следует ложноевысказывание
Эквивалентность истинна	обавысказывания ложныили обавысказывания истинны

 

Последовательность выполнения логических операций:

1) инверсия;

2) конъюнкция;

3) дизъюнкция;

4) импликация и эквивалентность.

Порядок выполнения можно изменить с помощью скобок.

Логическое выражение- символическая запись, состоящая из логических величин, объединенных логическими операциями (связками).

Логическая функция- функция, в которой переменные при­нимают только два значения: логическая единица или логический ноль.

Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записывается набор логических аргументов, а в правой части - соответствующие зна­чения логической функции.

Построение таблицы истинности логической функции:

1)определить количество логических аргументов (количество столбцов в левой части таблицы);

2) определить количество строк в таблице (по формуле 2", где п — количество логических аргументов);

3) определить количество и последовательность выполнения логических операций;

4) определить количество столбцов в правой части таблицы (по количеству операций);

5) вычислить значение каждой логической операции.

Запись логической функции по таблице истинности:

Способ 1

1.В таблице выбрать наборы переменных (аргументы), при которых значение логической функции равно 1.

2 Для каждого такого набора записать конъюнкции всех ло­гических аргументов. При этом те аргументы, которые име­ют значение 0, записываются с инверсией, а аргументы, которые имеют значение 1, записываются без инверсии.

3. Все полученные конъюнкции объединяются знаками дизъ­юнкции.

4. Упростить полученное выражение, используя законы ло­гики.

Способ 2

1. В таблице выбрать наборы переменных (аргументы), при которых значение логической функции равно 0.

2. Для каждого такого набора записать дизъюнкции всех ло­гических аргументов. При этом те переменные, которые имеют значение 1, записываются с инверсией, а аргументы, которые имеют значение 0, записывают без инверсии.

3. Все полученные дизъюнкции объединяются знаками конъ­юнкции.

4. Упростить полученное выражение, используя законы логики.