Бинарные отношения

В повседневной жизни нам постоянно приходится сталкиваться с понятием «отношения». Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множества.

Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого-то одного признака R у элементов множества M (например, «быть красным» на множестве шаров в урне).

Бинарные (двуместные) отношения используются для определения взаимо

связей, которыми характеризуются пары элементов во множестве M.

Например, на множестве людей могут быть заданы следующие отношения: «жить в одном городе», «x работает под руководством y», «быть сыном», «быть старше» и т.д. на множестве чисел: «число a больше числа b», «число a является делителем числа b», «числа a и b дают одинаковый остаток при делении на 3».

В прямом произведении , где A - множество студентов какого-либо вуза, B- множество изучаемых предметов, можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (a, b), обладающих свойством: «студент a изучает предмет b». Построенное подмножество отражает отношение «изучает», возникающее между множествами студентов и предметов. Число примеров можно продолжить

Отношения между двумя объектами являются предметом исследования экономики, географии, биологии, физики, лингвистики, математики и других наук.

Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств вводится понятие бинарного отношения.

Бинарным отношением между множествами A и B называется подмножество R прямого произведения . В том случае, когда можно просто говорить об отношении R на A.

Пример 1. Выпишите упорядоченные пары, принадлежащие бинарным отношениям R₁ и R₂, заданными на множествах Aи : , . Подмножество R₁ состоит из пар: . Подмножество .

Область определения R на есть множество всех элементов из A таких, что для некоторых элементов имеем . Иными словами область определения R есть множество всех первых координат упорядоченных пар из R.

Множество значений отношения R на есть множество всех таких, что для некоторых . Другими словами множество значений R есть множество всех вторых координат упорядоченных пар из R.

В примере 1 для R₁ область определения: , множество значений - . Для R₂ область определения: , множество значений: .

Во многих случаях удобно использовать графическое изображение бинарного отношения. Оно осуществляется двумя способами: с помощью точек на плоскости и с помощью стрелок.

В первом случае выбирают две взаимно перпендикулярные линии в качестве горизонтальной и вертикальной осей. На горизонтальной оси откладывают элементы множества A и через каждую точку проводят вертикальную линию. На вертикальной оси откладывают элементы множества B, через каждую точку проводят горизонтальную линию. Точки пересечения горизонтальных и вертикальных линий изображают элементы прямого произведения .

Пример 5. Пусть , .

Пусть R₁ задано на перечислением упорядоченных пар: . Бинарное отношение R₂ на множестве задано с помощью правила: упорядочена пара , если a делится на b. Тогда R₂ состоит из пар: .

Бинарные отношения, из примера 2, R₁ и R₂ изображены графически на рис. 6 и рис.7.

Рис. 6 Рис. 7

Чтобы изобразить бинарное отношение с помощью стрелок, слева изображаются точками элементы множества A, справа - множества B. Для каждой пары (a, b), содержащейся в бинарном отношении R, проводится стрелка от a к b,. Графическое изображение бинарного отношения R₁, приведенного в примере 6, показано на рис.8.

Рис.8

Бинарные отношения на конечных множествах могут быть заданы матрицами. Предположим, что задано бинарное отношение R между множествами A и B. , .

Строки матрицы нумеруются элементами множества A, а столбцы – элементами множества B. Ячейку матрицы, стоящую на пересечении i - ой строки и j - ого столбца принято обозначать через C_ij, а заполняется она следующим образом:

Полученная матрица будет иметь размер .

Пример 6. Пусть задано множество . На множестве задайте списком и матрицей отношение R – «быть строго меньше».

Отношение R как множество содержит все пары элементов (a, b) из M такие, что .

.

Тогда

Матрица отношения, построенная по вышеуказанным правилам, имеет следующий вид:

Свойства бинарных отношений: