Форми представлення чисел в ЕОМ

Для представлення чисел в ЕОМ використовують 2 основних форми: з фіксованою крапкою (комою) і з плаваючою крапкою.

Форма запису чисел з фіксованою комою передбачає, що кома фіксована в розрядній сітці машини. Для представлення знаку виділяється спеціальний розряд. Для позитивних чисел в знаковому розряді записується 0, для негативних - 1.

У ЕОМ може бути використані два способи розташування крапки (правильніше – припущення її розташування): після молодшого розряду і перед старшим розрядом.

У першому випадку ваги розрядів числа визначаються таким чином:

 

де L > 1.

 

Рис. 2.1.

 

Цей формат використовується для представлення цілих чисел, при цьому зазвичай цілі числа займають в пам'яті ЕОМ один, два або чотири байти.

Діапазон представлення цілих двійкових чисел в розглянутому випадку - (2^L -1) ≤ D ≤2^L -1 .

Наприклад, цілі числа із знаком в двобайтовому форматі (L=15) можуть набувати значення від - (215 -1) до 215 -1 т. е. від -32767 до 32767.

У деяких мовах програмування передбачені беззнакові типи даних для цілих чисел. Так, в мові СІ можна задати однобайтне ціле без знаку, в цьому випадку діапазон представлення числа - від 0 до 255. Для однобайтного представлення із знаком діапазон, вочевидь, складе від -127 до 127.

Якщо в результаті виконання операції число виходить за допустимі межі (переповнювання розрядної сітки), число грубо спотворюється, і подальші обчислення втрачають сенс.

 

Представимо в двобайтовому форматі із знаком число - 1810:

.

Рис. 2.2.

 

У разі, коли розташування крапки мається на увазі перед старшим розрядом, ваги розрядів представлені таким чином:

 

.

Рис. 2.3.

 

Таким чином, даний формат може бути використаний для представлення дійсних чисел по модулю менших одиниці.

Діапазон представлення чисел в цьому випадку - (1-2 ^{- L}) ≤ D ≤ 1-2 ^{- L} .

Якщо ж трапляється переповнювання розрядної сітки, то виробляється автоматичне усікання молодших розрядів числа і, таким чином, грубе спотворення числа не відбувається.

Переваги формату представлення чисел з фіксованою комою – простота і висока швидкість обчислення, недолік – невеликий діапазон представлення, а, отже, і невисока точність обчислень.

Саме цей істотний недолік наводить до того, що для представлення дійсних чисел в ЕОМ найчастіше використовується форма з плаваючою комою. При цьому будь-яке число в системі числення з підставою q записується як

 

X_q = М qp,

 

де М називають мантисою, p – порядком (р – ціле число), а qp– характеристикою.

Мантиса має бути правильним дробом, перша цифра якого відмінна від нуля. Така мантиса називається нормалізованою. Якщо, наприклад, перші i цифр мантиси правильного дробу дорівнюють нулю, для нормалізації її потрібно зрушити відносно крапки на i розрядів вліво з одночасним зменшенням порядку на i одиниць. В результаті такої операції число не змінюється.

Нормалізація мантиси усуває неоднозначність представлення числа у формі з плаваючою комою, а також дозволяє ефективніше використовувати розрядну сітку ЕОМ.

Дана форма представлення має величезний діапазон відображення чисел і є основною в сучасних компъютерах. Так, діапазон значущих цифр в системі числення з підставою q за наявності М розрядів в мантиси і р розрядів в порядку (без обліку знакових розрядів в мантиси і порядку) складе

 

.

 

При подвійній точності представлення (q=2, M=22, p=10) діапазон чисел тягнеться від

10 ^-308 (машинный нуль) до 10 ³⁰⁸ (машинна нескінченність).

Дійсне число зазвичай займає в пам'яті ЕОМ 4 байти, з них один байт виділяється під порядок (звичайна точність), або 8 байтів, з яких під порядок виділяється 11 біт (подвійна точність).

Наведемо приклад запису числа у четирьохбайтному форматі.

Хай x = 4,510= 100,12= 0,10012011. Тоді число в розрядній сітці ЕОМ представиться у вигляді

 

Рис.2.4.

 

Форма представлення чисел з плаваючою комою дозволяє істотно збільшити діапазон і точність обчислень.

Окрім розрядності порядку і мантиси діапазон представлення чисел залежить і від основи використовуваної системи числення, яка може бути відмінною від 2. Наприклад, в універсальних ЕОМ (мейнфреймах) фірми IВМ використовується основа 16. Це дозволяє при однаковій кількості бітів, відведених під порядок, представляти числа в більшому діапазоні. Так, якщо поле порядку дорівнює 7 бітам, максимальне значення, на яке умножається мантиса, рівне 2128 (при q=2) або 16128 (при q= 16). Відомі також випадки використання підстави 8, наприклад, в ЕОМ В-5500 фірми Borroughs.

У більшості обчислювальних машин для спрощення операцій над порядками останні наводять до цілих позитивних чисел, застосовуючи так званий зміщений порядок. Для цього до дійсного порядку додається ціле позитивне число — зсув. Наприклад, в системі із зсувом 128 порядок -3 представляється як 125 (-3 + 128). Звичайно зсув вибирається рівним половині уявного діапазону порядків. Відзначимо, що зміщений порядок займає всі біти поля порядку, у тому числі і той, який раніше використовувався для запису знаку порядку.

Формат представлення чисел, що рекомендується для всіх ЕОМ, з плаваючою комою визначений стандартом IЕЕЕ 754. Цей стандарт був розроблений з метою полегшити перенесення програм з одного процесора на інши, і знайшов широке вживання практично у всіх процесорах і арифметичних співпроцесорах.

Стандарт визначає 32-бітовий (одинарний) і 64-бітовий (подвійний) формати з 8- і 11-розрядним порядком відповідно. Основою системи числення є 2. На додаток, стандарт передбачає два розширені формати, одинарний і подвійний, фактичний вигляд яких залежить від конкретної реалізації. Розширені формати передбачають додаткові біти порядку (збільшений діапазон) і мантиси (підвищена точність).

У ряді завдань, головним чином, обліково-статистичного характеру, доводиться мати справу із зберіганням, обробкою і пересилкою десяткової інформації. Особливість таких завдань полягає в тому, що оброблювані числа можуть складатися з різної і вельми великої кількості десяткових цифр. Традиційні методи обробки з перекладом вихідних даних в двійкову систему числення і зворотним перетворенням результату часто зв'язані з істотними накладними витратами. З цієї причини в ЕОМ застосовуються інші спеціальні форми представлення десяткових даних. У їх основу покладений принцип кодування кожної десяткової цифри еквівалентним двійковим числом з чотирьох бітів (тетрадою), тобто так званим двійково-десятковим кодом.

Використовуються два формати представлення десяткових чисел (всі числа розглядаються як цілі): зонний (розпакований) і ущільнений(упакований).

У обох форматах кожна десяткова цифра представляється двійковою тетрадою, тобто замінюється двійково-десятковим кодом. З незадіяних шести чотирирозрядних двійкових комбінацій дві служать для кодування знаків «+» і «-». Наприклад, в ЕОМ сімейства IВМ 360/370/390 для знаку «плюс» вибраний код 1100, а для знаку «мінус» — код 1101.

Зонний формат застосовується в операціях введення/виводу. У нім під кожну цифру виділяється один байт, де молодші чотири розряди відводяться під код цифри, а в старшу тетраду (поле зони) записується спеціальний код «зона», не співпадаючий з кодами цифр і знаків. У IВМ 360/370/390 це код 1111. Виключення складає байт, що містить молодшу цифру десяткового числа, де в полі зони зберігається знак числа. У деяких ЕОМ прийнятий варіант зонного формату, де поле зони заповнюється нулями.

 

Контрольні запитання

 

1. Які форми представлення чисел в ЕОМ Вам відомі?

2. У якому форматі можуть представлятися в ЕОМ цілі числа?

3. У якому форматі можуть представлятися в ЕОМ дійсні числа?

4. Дайте порівняльну характеристику відомих Вам форм представлення чисел в ЕОМ.

5. У яких випадках застосовується двійково-десяткове представлення чисел в ЕОМ?