Классификация задач оптимального управления

Классификация задач оптимального управления. Одношаговые задачи принятия решения. В одношаговых задачах определяется непосредственно значение переменной состояния системы х, которое обеспечивает наилучшее достижение или управление. Одношаговая задача принятия решения считается заданной, если заданы пространство состояний природы Q с распределением вероятностей ? U для всех U?Q, пространство решений Х и критерий качества принятого решения, который будем называть целевой функцией.

Целевую функцию выражающую в явном виде цели управления, можно рассматривать как выходную величину ОУ и обозначать q. Целевую функцию, являющуюся скалярной величиной, зависящей от состояния природы U и от состояния объекта управления х можно записать в виде 1 q q х,U Одинаковая задача принятия решений 2 G X,Q,q Решение задачи 2 состоит в нахождении такого х ?X, которое обратит в минимум функцию q, т.е. удовлетворяет условию 3 х х?Х q х,U min Существует ряд методов решения одношаговой задачи. Задачу называют детерминированной, если нет неопределенности в отношении состояния природы.

Пространство состояния природы Q состоит всего из одного элемента U0, вероятность которого равна 1. В этом случае целевая функция будет зависеть только от состояния ОУ. 4 q q x q x 1 x n Одинаковую детерминированную задачу называют классической задачей оптимизации, если ограничения вида ?в 5 fi x 1 x n в, i 1,m ?в примем, среди этих ограничений нет неравенств, и нет условий не отрицательности или дискретности переменных, функции fi x 1 , ,x n и q х непрерывны и имеют частные производные по крайней мере второго порядка.

Другим методом решения одношаговой задачи является метод математического программирования. Математическое программирование представляет собой не аналитическую, а аморитмическую форму решения задачи, т.е. указывает вычислительную процедуру, которая приводит к решению задачи. Простейшим примером математического программирования является задача линейного программирования.

Она соответствует случаю, когда левые части ограничений 5 и целевая функция 4 представляют собой линейные функции от х 1 х n. В задачах линейного программирования требуется найти неотрицательные значения переменных х 1 х n, которые обращают в минимум целую функцию. 6 q x 1 , ,x n ? Cjx j j и удовлетворяет системе ограничений 7 ? aijx j ?вi, i 1,m j Любую задачу математического программирования, отличающуюся от сформулированной, называют задачей нелинейного программирования.

В этих задачах или целевая функция или левые части ограничений, или то и другое являются нелинейными функциями от x 1 х n, или когда целевая функция и ограничении имеют вид 6 , 7 , но предполагается, например, цело численность переменных. Эта задача получил название целочисленного программирования. Одношаговую задачу принятия решений называют стохастической, если пространство состояний природы Q состоит более чем из одного элемента, так что известным является не действительное состояние природы U, а распределение вероятностей о U на пространстве Q. 8 q x ? о U q x,U U?Q Поскольку q х является детерминированной функцией от х, то задача нахождения переменных х 1 , ,х n, удовлетворяющих ограничениям 5 и обращающих в минимум целевую функцию 8 , может быть решена методами линейного и нелинейного программирования.

В настоящее время большое внимание уделяется задачам, в которых решение принимается не одним лицом, а несколькими, причем интересы этих лиц противоположны.

Подобные задачи получили название конфликтных ситуаций, а методы их решения рассматриваются в теории игр. При мат-ком описании конфликтной ситуации пространство решений следует рассматривать как прямое приведение двух множеств Х Y, где Х х1 хn - пространство решений первого игрока Y - пространство решений второго игрока.

Целевая функция 9 q q x, y зависит только от элементов пространства Х Y. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ. Задачи, в которых ОУ находится в состоянии непрерывного движения и изменения под воздействием различных внешних и внутренних факторов называется динамическими задачами управления. 10 q qV x t, u t 10 -целевая функция, качество управления в любой момент времени может быть охарактеризовано как 11 q t u t x t Целевая функция вида 10 используется редко, так как она дает оценку лишь мгновенных значений управляемого процесса, тогда как в большинстве задач требуется оценить процессы в ОУ на протяжении всего времени управления от 0 до Т. Оценку процесса ОУ можно произвести путем интегрирования целевой функции за все время управления, т. е. за критерий качества принять функционал T 12 J u ? qU x t, u t dt 0 В динамических задачах управления наряду с ограничениями вида 5 , определяющих пространство допустимых управлений V, приходится иметь дело с интегральными ограничениями вида T 13 ? H x t, u t dt ? k const 0 Оптимальным называют управление u t, выбираемого из пространства допустимых уравнений V, такое, которое для объекта описываемого дифференциальным уравнением x qv u, x , x 0 C, минимизирует критерий качества 12 при заданных ограничениях на используемые ресурсы 13 . ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ. В общей задаче оптимизации требуется найти вектор x x 1 x n из допустимой области Х, который обращает в min целевую функцию q х, т.е. такой вектор х ?X, для которого выполняется условие 14 q x ? q x для всех х?Х Если такой вектор х существует, то он определяет слабый глобальный минимум q х в допустимой области Х. Этот минимум называют слабым, т.к. он удовлетворяет нестрогому слабому неравенству, глобальным или абсолютным, потому что неравенство справедливо для любого х?X. Минимум при х х называют сильным, если имеет место q x q x для x?x. Если поменять знаки неравенств, получим слабый и сильный максимум.

Однако max q x дает min q x, поэтому в дальнейшем рассматриваем задачу минимизации. Сильный глобальный минимум всегда единственен.

Слабый глобальный минимум допускает не единственность оптимальной точки, т.к. х, удовлетворяющий условию q х q х, так же является оптимальной точкой.

Хотя цель задачи оптимизации - получение глобального минимума целевой функции, при ее решении важное значение имеет понятие локального или относительного минимума.

Минимум в точке х х называется локальным относительным, если найдется такая окрестность Qо х точки х, что для всех х?Qо x имеет место q х ?q х. Если функция q х дифференцируема, то задача отыскания локальных минимумов сводится к нахождению стационарных точек, в которых обращаются в нуль частные производные функции q x 15 dq x dx i 0, i 1,n