Реферат Курсовая Конспект
Использование высших производных - Дипломный Проект, раздел Математика, Экстремумы функций Использование Высших Производных. В Случае, Когда F’’(X)=0 (F’(X)=0) Э...
|
Использование высших производных.
В случае, когда f’’(x)=0 (f’(x)=0) экстремум может быть, а может и не быть. Рассмотрим общий случай. Теорема 3.2:Пусть функция f: U(x 0 ) R, определенная в окрестности U(x 0 ) точки х 0 , имеем в х 0 производные до порядка n включительно (n>1). Если f’(x 0 )=…=f (n-1) (x 0 )=0 и f (n) (x 0 )=0 , то при n нечетном в х 0 экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если f (n) (x 0 )>0 , и строгий локальный максимум, если f (n) (x 0 ). Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора f(x)-f(x 0 )=f (n) (x 0 )(x-x 0 ) n + (x)(x-x 0 ) n (3.2) где (x) 0 при x x 0 ,будем рассуждать так же, как при доказательстве леммы Ферма. Перепишем (2) в виде f(x)-f(x 0 )=(f (n) (x 0 )+ (x))(x-x 0 ) n (3.3) Поскольку f (n) (x 0 )=0,а (x) 0 при x x 0 , сумма имеет знак f n (x 0 ),когда х достаточно близок к х 0 . Если n нечетно, то при переходе через х 0 скобка (х-х 0 ) n меняет знак и тогда изменяется знак всей правой, а следовательно, и левой части равенства (3.3). Значит, при n=2k+1 экстремума нет. Если n четно, то (x-x 0 ) n >0 при x=x 0 и, следовательно, а малой окрестности точки х 0 знак разности f(x)-f(x 0 ), как видно из равенства (3.3), совпадает со знаком f (n) (x 0 ) : • пусть f (n) (x 0 ),тогда в окрестности точки х 0 f(x)>f(x 0 ), т. е. в точке х 0 – локальный минимум; • пусть f (n) (x 0 )>0,тогда f(x)>f(x 0 ) ,т. е. в точке х 0 локальный минимум. ч.т.д. 4.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Задача состоит в формулировании необходимых и достаточных условий существования максимума и минимума функции, выборе метода нахожденя экстремумов и… В качестве объекта для исследования и описания использовались функции одной и… Л.Эйлер. В математике изучение задач на нахождение максимума и минимума началось очень давно.Но только лишь в эпоху…
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Использование высших производных
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов