Реферат Курсовая Конспект
Определение предела и непрерывности по Гейне - раздел Математика, Односторонние пределы и односторонняя непрерывность Между Понятием Предела Последовательности И Понятием Предела Функции Имеется ...
|
Между понятием предела последовательности и понятием предела функции имеется тесная связь.
Теорема. Функция имеет предел при тогда и только тогда, когда для любой последовательности такой, что и .
Доказательство. 4Пусть и , . Тогда
. (1)
Из сходимости же последовательности к следует существование такого номера , что для всех будет , а так как , то
. (2)
Объединяя (1) и (2), получим
,
то есть
.
Пусть теперь для любой последовательности , сходящейся к и такой, что . Если не является пределом при , то найдется окрестность такая, что при любом найдется точка такая, что . Но это означает, что подпоследовательность не сходится к , хотя последовательность стремится к .3
Из доказанной теоремы следует, что данное ранее определение предела (по Коши) эквивалентно следующему определению (по Гейне):
Определение. Говорят, что функция имеет предел при , если для любой последовательности такой, что и .
Дадим также определение непрерывности по Гейне. Здесь можно отказаться от условия .
Определение. Функция непрерывна в точке , если для любой последовательности такой, что
Так же, как и в случае предела функции, определения непрерывности по Коши и по Гейне эквивалентны.
Упражнение. Докажите это утверждение.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Рассмотрим функцию определенную в некоторой окрестности точки Функция будет непрерывной в точке если... В противном случае будет точкой разрыва Рассмотрим разные варианты нарушения условия...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Определение предела и непрерывности по Гейне
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов