Кратные корни многочлена.

Если в разложении многочлена п-й степени на линейные множители

Q(x)=A₀(x-а₁)(x-а₂)…(x-а_n)

некоторые линейные множители окажутся одинаковыми, то их можно объединить, и тогда разложение многочлена на множители будет иметь вид:

Q(x)=A₀(x-а₁)^k1(x-а₂) ^k2…(x-а_m) ^km, где k₁+k₂+…+k_m=n и m£n.

В этом случае корень х=а₁ называется корнем кратности k₁ или k₁-кратным корнем, х=а₂ — корнем кратности k₂ и т.д.

Например: 3·х⁵·(х+2)³·(х-1)²·(х-2)²·(х+5)

х=0 пятикратный корень; х=-2 трёхкратный корень; х=1 двукратный корень;

х=2 двукратный корень; х=-5 однократный корень.

Если многочлен имеет корень х=а кратности k, то мы будем считать, что многочлен имеет k одинаковых корней. Тогда из теоремы о разложении многочлена на линейные множители получается следующая теорема.

Теорема 1:Всякий многочлен п-й степени имеет ровно п корней (действительных или комплексных).

Рассмотрим квадратный трёхчлен ах²+bx+c:

D>0 существует два различных действительных корня;

D=0 существует два совпавших действительных корня;

D<0 существует два различных комплексных (сопряжённых) корня.