Угол между прямыми. Условия параллельности и - раздел Математика, Основные свойства определителей Перпендикулярности Двух Прямых.
1. Если Прямые L...
перпендикулярности двух прямых.
1. Если прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями
А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0,
то угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами {A1,B1} и {A2,B2}. Следовательно,
. (7.10)
Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к условиям параллельности и перпендикулярности нормалей:
- условие параллельности, (7.11)
- условие перпендикулярности. (7.12).
2. Если прямые заданы каноническими уравнениями (7.5), по аналогии с пунктом 1 получим:
, (7.13)
- условие параллельности, (7.14)
- условие перпендикулярности. (7.16).
Здесь и - направляющие векторы прямых.
3. Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами (7.8)
у = k1x +b1 и y = k2x + b2, где , а α1 и α2 – углы наклона прямых к оси Ох, то для угла φ между прямыми справедливо равенство: φ = α2 - α1. Тогда
. (7.17)
Условие параллельности имеет вид: k1=k2, (7.18)
условие перпендикулярности – k2=-1/k1, (7.19)
поскольку при этом tgφ не существует.
Расстояние от точки до прямой.
Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат). Пусть n – единичный вектор, направление которого совпадает с ОР. Составим уравнение прямой L, в которое входят два параметра: р – длина отрезка ОР и α – угол между ОР и Ох.
у Для точки М, лежащей на L, проекция вектора ОМ на прямую
L ОР равна р. С другой стороны, прnOM=n·OM. Поскольку
Р n={cosα, sinα}, a OM={x,y}, получаем, что
nMx cosα + y sinα = p, или
О х x cosα + y sinα - p = 0 - (7.20)
- искомое уравнение прямой L, называемое нормальным
уравнением прямой (термин «нормальное уравнение» связан
с тем, что отрезок ОР является перпендикуляром, или нормалью, к данной прямой).
Определение 7.2. Если d – расстояние от точки А до прямой L, то отклонениеδ точки А от прямой L есть число +d, если точка А и начало координат лежат по разные стороны от прямой L, и число –d, если они лежат по одну сторону от L.
Теорема 7.1. Отклонение точки А(х0,у0) от прямой L, заданной уравнением (7.20), определяется по формуле:
. (7.21)
Доказательство.
у Q Проекция OQ вектора ОА на направление ОР равна
P A n·OA=x0cosα + y0sinα. Отсюда δ = PQ=OQ-OP=OQ-p=
nx0cosα + y0sinα - p, что и требовалось доказать.
O
L
Следствие.
Расстояние от точки до прямой определяется так:
(7.22).
Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число , причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.
Пример. Найдем расстояние от точки А(7,-3) до прямой, заданной уравнением
Определение матрицы Определители второго и третьего порядков их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения разложение определителя по... Определение Матрицей называется прямоугольная таблица чисел...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Угол между прямыми. Условия параллельности и
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Основные свойства определителей.
Сформулируем и докажем основные свойства определителей 2-го и 3-го порядка (доказательство проведем для определителей 3-го порядка).
Свойство 1. Определитель не изме
Разложение определителя по строке.
Определение1. 7. Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный
Метод Гаусса решения линейных систем.
Замечание. Линейная система (2.2) может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.
Примеры:
1.
Правило Крамера.
Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель , элем
Перемножение матриц.
Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именн
Обратная матрица.
Определение 3.7. Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и не
Теорема о ранге.
Определение 4.3. Базисным минором матрицы называется любой ее ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.
Определение
Совместность линейных систем.
Определение 4.5. Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Лекция 5.
Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение.
&n
Базис и координаты вектора.
Определение 5.7. Линейной комбинацией векторов а1, а2,…,аnназывается выражение вида: k1
Скалярное произведение векторов.
Определение 5.14. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:
ab =
Прямая на плоскости.
Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости.
Пусть прямая проходит через точку М0 (x0,y0) перпендикулярно вектору
Неполные уравнения прямой.
Уравнение (7.4) называется полным, если коэффициенты А,В и С не равны нулю, и неполным, если хотя бы одно из этих чисел равно нулю. Рассмотрим возмож
Плоскость в пространстве.
Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0 ,у0 ,z0) перпендикулярно вектору n
Неполные уравнения плоскости.
Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным.
Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:
1) D = 0 – плоскость Ax + By +
Прямая в пространстве.
Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений.
Первая возможность составить уравнения прямой в п
Эллипс.
Определение 9.2. Эллипсомназывается множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плос
Гипербола.
Определение 9.5. Гиперболойназывается множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2
Парабола.
Определение 9.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно рассто
Эллипсоид.
Определение 10.2. Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе прямоугольных декартовых координат определяется уравнением
Гиперболоиды.
Определение 10.3. Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе прямоугольных декартовых координат определяются каноническими ура
Параболоиды.
Определение 10.4. Параболоидаминазываются поверхности, которые в некоторой системе прямоугольных декартовых координат определяются каноническими уравнениями
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов