Определение понятия. Требования к определению понятия

Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина. Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Определить понятие – значит указать существенные свойства объекта, которых достаточно для распознавания объекта.

Различают явные и неявные определения.

Явные определения имеют форму равенства, совпадения двух понятий, его можно представить в таком виде: а есть (по определению) b. Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом , и тогда определение выглядит так: а b.

Рассмотрим определение квадрата: «Квадратом называется прямоугольник с равными сторонами». В этом определении можно выделить определяемой понятие «квадрат» и определяющее понятие «прямоугольник с равными сторонами».

Примеры явных определений.

1)

видовое отличие

родовое понятие

определяемое понятие

Определение через род и видовое отличие. Оно имеет вид:

 

+

определяющее понятие

Примером такого определения является определение квадрата, данное выше.

 

Требования к определению через род и видовое отличие:

ü Определение должно быть соразмерным – объемы определяемого и определяющего понятия должно совпадать. Например, определение «Квадрат – это четырехугольник с равными сторонами» соразмерным не является, т.к. множество четырехугольников с равными сторонами – это множество ромбов.

ü В определении не должно быть порочного круга – нельзя определять понятие через само себя. Так, нельзя дать такое определение: «сложение называется действие, при котором числа складываются».

ü Определение должно быть ясным – значения терминов, входящих в определяющее понятие должны быть известны к моменту определении нового понятия. Например, нельзя определить квадрат как ромб с прямыми углами, если понятие «параллелограмм» еще не изучено.

ü Определение должно быть достаточным – в определении должны быть указаны все свойства, позволяющие однозначно выделять объекты, принадлежащие объему определяемого понятия. Например, в определении «Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам» этим свойством не обладает, т.к. не указано, что луч выходит из вершины угла.

ü Определение не должно быть избыточным – не должно быть указано лишних свойств. Так, в определении «Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны и диагонали взаимно перпендикулярны» свойство, что диагонали взаимно перпендикулярны, является лишним.

 

2) Генетические – указывается способ образования определяемого объекта. Например: «Ломаной называется линия, состоящая из точек и соединяющих их отрезков

3) Индуктивные – указываются некоторые основные объекты теории и правила, позволяющие получать новые из уже имеющихся. Например: «Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число».

Неявные определения не имеют формы совпадения двух понятий. В них нельзя выделить определяемое и определяющее понятия.

Примеры неявных определений.

1) Контекстуальные – содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст. Пример: после записи 3 + х = 9 и перечня чисел 2, 3, 6 и 7 идет текст: «х – неизвестное число, которое надо найти. Какое из чисел надо подставить вместо х, чтобы равенство было верным? Это число 6». Из этого текста следует, что уравнение – это равенство с неизвестным числом, которое надо найти, а решить уравнение – это значит найти такое значение х, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

2) Остенсивные – введение терминов путем показа, демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают. Пример: 2 < 7, 2 · 4 > 5 – это неравенства.

Неявные определения часто используются в начальной школе.

 

 

Контрольные вопросы

 

1. Какие свойства считают существенными и несущественными для объекта?

2. Что понимают под объемом понятия?

3. Что понимают под содержанием понятия?

4. В каком отношении находятся объемы понятий, если понятия несовместимы, совместимы, тождественны, одно понятие является видовым по отношении к другому понятию?

5. Что значит – определить понятие?

6. Какие определения относят к явным и неявным?

7. Какие правила необходимо соблюдать, формулируя определения понятий через род и видовое отличие?