Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа - Лекция, раздел Математика, Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак производной или диффе-ренциала, называется дифференциальным уравнением. Например
Пусть Дано Неоднородное Дифференциальное Уравнение
&...
Пусть дано неоднородное дифференциальное уравнение
Докажем следующее утверждение.
Теорема 1(о структуре общего решения неоднородного уравнения). Если в уравнении (1) все коэффициенты и правая часть непрерывны на отрезке , то общее решение уравнения (1) (на этом отрезке) имеет вид
где – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения а – частное решение неоднородного уравнения (1), произвольные постоянные.
Доказательство. Применяя оператор к функции (2), будем иметь
Это означает, что функция (2) является решением уравнения (1) при произвольных значениях постоянных . Пусть теперь --- произвольная точка в ( ). Покажем, что решение задачи Коши
можно получить из (2) выбором определенных значений постоянных. Подчиняя (2) условиям (3), будем иметь
Определитель этой системы совпадает с вронскианом в точке и поскольку фундаментальная система решений линейно независима на отрезке , то указанный определитель системы (4) не равен нулю. Следовательно, система (4) имеет единственное решение а значит функция является решением задачи Коши (3). Тем самым показано, что функция (2) является общим решением неоднородного уравнения (1). Теорема доказана.
семестр часть Дифференциальные уравнения... В каждой лекции все формулы определения и теоремы нумеруются так же как и в... Лекция Общие понятия Начальная задача задача Коши и теорема существования и единственности решения задачи Коши...
Уравнения, допускающие понижение порядка
Ясно, что чем меньше порядок дифференциального уравнения, тем легче его решить. Посмотрим, какие уравнения допускают понижение порядка. Сначала рассмотрим простейшее уравнение
Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
Согласно теореме 1 поиск общего решения неоднородного дифференциального уравнения (1) сводится к двум процедурам:
1) построение фундаментальной системы решений соответствую
Алгоритм 1.
1) По уравнению (1) составляем характеристическое уравнение , заменив в (1) производные на степени ( ).
2) Найдем корни характеристического уравнения и установим их кратности.
3)
Предел и непрерывность функции комплексной переменной
Ниже везде, если не оговорено противное, все функции считаются однозначными. Кроме того, запись автоматически предполагает, что и – действительные величины.
Ниже везде, есл
Геометрический смысл модуля и аргумента производной
Пусть функция дифференцируема в точке и При отображении вектор исходящий из точки переходит в бесконечно малый вектор исходящий из точки а гладкая кривая переходит в гладкую кривую
Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана
Функциональные ряды вида где (коэффициенты ряда) и (центр ряда) – постоянные, переменная, называются степенными рядами. Ясно, что если мы научимся вычислять область сходимост
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов