Реферат Курсовая Конспект
Линейная зависимость и независимость систем векторов - раздел Математика, МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определение: P – Поле, Если Для ...
|
Определение: P – поле, если для выполняются аксиомы:
1. - ассоциативность
2. - коммутативность
3.
4.
(1)-(4)- абелева группа по сложению
5. - дистрибутивность
6. - дистрибутивность
(1)-(6) - кольцо
7. - ассоциативность
8. - унитарность
9.
10. - коммутативность
Пусть V – непустое множество, P – поле, заданы операции – сложение 2-х элементов из V, умножение вектора на элементы из P, и выполнены аксиомы поля. Тогда V – линейное пространство над P.
Векторы линейно зависимы, если и , такие что .
Векторы линейно независимы, если для .
Теорема: Критерий линейной зависимости
из векторного пространства V над полем P. Векторы - линейно зависимы, если и только если либо , либо , такое что линейно выражается через .
Свойства: Имеют место следующие утверждения:
1. Система векторов {X1, ,Xk} с линейно зависимой подсистемой сама линейно зависима;
2. Любая часть линейно независимой системы векторов {X1, ,Xk} линейно независима;
3. Среди линейно зависимых векторов X1, ,Xk хотя бы один является линейной комбинацией остальных;
4. Если один из векторов X1, ,Xk линейно выражается через остальные, то векторы X1, ,Xk линейно зависимы;
5. Если векторы X1, ,Xk линейно независимы, а векторы X1, ,Xk, X линейно зависимы, то X – линейная комбинация векторов X1, ,Xk;
6. Если векторы X1, ,Xk линейно независимы и вектор Xk+1 нельзя через них выразить, то система X1, ,Xk, Xk+1 линейно независима.
Доказательство:
1) Пусть, например, первые s векторов X1, ,Xs, s<k, линейно зависимы, т. е. á1X1 + + ásXs = 0, где не все ái равны нулю. Положив тогда ás+1 = = ák = 0, получим нетривиальную линейную зависимость
á1X1 + + ásXs + ás+1Xs+1 + + ákXk = 0.
Утверждение 2) непосредственно следует из 1) (рассуждение от противного).
3) Пусть, например, ák ≠ 0. Тогда Xk = -á1/ák X1 - … - ák-1/ák Xk-1.
4) Пусть, например, Xk = â1X1 + … + âk-1Xk-1. Положив á1 = â1, … , ák-1 = âk-1, ák = -1, придем к соотношению á1X1 + + ákXk = 0 с коэффициентом ák ≠ 0.
5) Нетривиальное соотношение â1X1 + … + âkXk + âX = 0 с â ≠ 0 дает в силу 3) то, что нужно. Если, однако, â = 0, то â1 = … = âk = 0, поскольку X1, ,Xk по условию линейно независимы.
Утверждение 6) следует из 5).
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейная зависимость и независимость систем векторов
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов