рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Нахождение обратной матрицы А-1 в случае невырожденной матрицы А.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Нахождение обратной матрицы А-1 в случае невырожденной матрицы А.

Нахождение обратной матрицы А-1 в случае невырожденной матрицы А. - раздел Математика, Линейные уравнения Пусть А = ...

Пусть А = - невырожденная матрица, т.е.

Теорема. Если А – невырожденная матрица, то

А^-1 =

Здесь А_ij – алгебраическое дополнение для элемента а_ij .

Обратим внимание на своеобразное расположение чисел А_ij в матрице А^-1, а именно: число А_ij расположено не в i – той строке и j – том столбце, а, наоборот, в j – той строке и i– том столбце.

Доказательство.

Следует проверить справедливость равенств АА^-1 = Е и А^-1а = Е. Сделаем это для произведения АА^-1. Полагая АА^-1 = С, запишем

С = АА^-1 = · .

Согласно правилу умножения матриц, элемент матрицы С, расположенный в i – той строке и j – том столбце, равен

При i = j это выражение равно 1, т.к. тогда в скобках стоит разложение определителя по i – той строке; если же , то написанное выражение равно 0, поскольку в этом случае в скобках стоит сумма произведений элементов i – той строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам j – той строки . Т.о., с_ij равно 1, если i = j , и равно 0, если . Это означает, что С = Е.

Пример 1.Найти обратную матрицу для матрицы

А = .

; следовательно, матрица А^-1 существует. Чтобы записать её, находим числа А₁₁ = -1, А₁₂ = -4,А₂₁ = -2, А₂₂ = -7.

А^-1 = -

Пример 2.То же самое для матрицы

А =

А₁₁= А^-1 = -

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Линейные уравнения

На сайте allrefs.net читайте: Линейные уравнения.

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Нахождение обратной матрицы А-1 в случае невырожденной матрицы А.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Линейные уравнения.
Линейным уравнением относительно неизвестных х1, х2, …, хn называют выражение вида а1 х1 + а2 х2 +…+ а n

Системы линейных уравнений.
Конечную совокупность линейных уравнений относительно неизвестных х1, х2, …, хn называют системой линейных уравнений. Если перенумеровать уравнения системы, то система л

Матрицы.
Прямоугольная таблица чисел ,

Умножение матрицы на число и сложение матриц.
По определению, чтобы умножить матрицу А на число k, нужно каждый элемент матрицы А умножить на число k. Например,

Умножение матриц.
Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица АВ, у которой столько же стр

Определители квадратных матриц.
Определители второго порядка. Правило Крамера. Пусть дана квадратная таблица, состоящая из четырёх чисел:

Правило Крамера для решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными.
Пусть дана система уравнений а11х1 + а12х2

Определители третьего порядка.
Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка, т.е. таблицу чисел

Определители n-ного порядка.
Рассмотрим квадратную таблицу, составленную из чисел. Такую таблицу называют квадратной матрицей порядка n.Число, стоящее

Разложение определителя по строке или столбцу.
Предыдущая формула мало пригодна для вычисления определителей n-ого порядка: число членов равно n! И с ростом n это число быстро возрастает. Практическое вычисление определителей основано

Свойства определителей n-ого порядка.
Определитель не изменится, если поменять местами строки и столбцы. Поэтому приводимые ниже свойства определителей формулируются для строк, для столбцов свойства аналогичны. 1.Если

Понятие минора. Вычисление определителей n-ого порядка.
Рассмотрим определитель n-ого порядка =

Связь между минорами и алгебраическими дополнениями.
Теорема. Алгебраическое дополнение любого элемента aij определителя равно минору этого элемента.

Правило Крамера для системы nn.
Теорема. Если определитель системы nn

Обратная матрица.
Квадратная матрица называется единичной и обозначается через Е. Легко проверить, что к

Транспонирование матрицы.
Наряду с матрицей А часто приходится рассматривать матрицу, столбцами которой являются строки матрицы А. Эту матрицу называют транспонированной к А и обозначают через А´ или Ат.

Умножение матрицы на вектор.
Одностолбцовую матрицу будем называть вектор-столбцом, а однострочную матрицу – вектор-строкой. Если А – матрица размера m × n, вектор-столбец х имеет размерност

Матрично-векторная форма записи системы линейных уравнений.
Рассмотрим систему линейных уравнений а11 х1 + а12 х2 +…+ а1n

Запись решения с помощью обратной матрицы.
Особое значение имеют системы с одинаковым числом уравнений и неизвестных – системы nn. В этом случае матрица А является