Закон контрапозиции.

Нам осталось рассмотреть соотношение между обратно-противоположными предложениями, т. е. предложениями вида АÞВ и . Имеет место следующая равносильность :

АÞВ = - закон контрапозиции.

Согласно закону контрапозиции: 1) два предложения вида АÞВ и одновременно истинны, либо одновре­менно ложны; 2) предложение, обратно противополож­ное какой-либо теореме, также является теоремой; 3) вместо данной теоремы можно доказывать обратно-противоположную ей теорему.

Пусть, например, требуется доказать утверждение «Если m² нечетно, то m нечетно». Сформулируем и до­кажем обратно-противоположную теорему: «Если m чет­но, то m² четно»; действительно, если m четно, то m=2р {р — натуральное число), откуда m²=4р²=2·(2р²) =2q, т. е. m² четно. Предположение, обратно-противопо­ложное данному, доказано; следовательно, доказано и данное утверждение.

Если в равносильность АÞВ = подставить В вместо А и А вместо В, то получим ВÞА= . Из этой равносильности следует, что: 1) предложение, обратное данному, и предложение, противоположное данному, од­новременно истинны либо одновременно ложны; 2) из двух предложений — обратного данной теореме и ей про­тивоположного— достаточно доказать или опровергнуть какое-нибудь одно; тем самым будет доказано или соот­ветственно опровергнуто и второе.

4.2. Необходимое и достаточное условия.

 

Уточним смысл часто применяющихся в математике выражений «необходимое условие», «достаточное условие» и состав­ленные из них «необходимое и достаточное условие», «не­обходимое, но недостаточное условие», «достаточное, но не необходимое условие».

 

Рассмотрим несколько примеров.

1) Говорят, что пропорциональность сторон — необхо­димое условие подобия двух треугольников. Это надо по­нимать так: если это условие не выполняется, т. е. сто­роны не пропорциональны, то треугольники не будут по­добными. Иначе говоря, если ложно высказывание А: «сто­роны треугольников пропорциональны», или истинно его отрицание , то ложно и высказывание В: «треугольники подобны», или истинно его отрицание , т. е. истинно высказывание

(1)

или равносильное ему высказывание

ВÞА. (2)

2) Говорят также, что пропорциональность сторон - достаточное условие подобия двух треугольников. Это надо понимать так: если это условие выполняется, то треугольники подобны, т. е. если истинно высказывание А: «стороны треугольников пропорциональны», то истинно и высказывание В: «треугольники подобны». Иначе говоря, это означает, что истинно высказывание

АÞВ. (3)

3) Из предыдущего следует, что пропорциональность
сторон — необходимое и достаточное условие подобия двух
треугольников, а это означает, что истинно высказывание или равносильное высказывание Но высказывание равносильно эквиваленции АÛВ. Следовательно, выражение «А необ­ходимое и достаточное условие для В» имеет тот же смысл, что «А если и только если В»; или «А тогда и только тогда, когда В».

4) Говорят, что пропорциональность сторон — необходимое, но недостаточное условиеподобия многоугольников. Это означает, что если стороны непропорциональны, то многоугольники неподобны, но неверно, что если стороны пропорциональны, то многоугольники подобны (квадрат и непрямоугольный ромб неподобны, хотя стороны их пропорциональны).

5) Говорят, что правильность многоугольника — достаточное, но необходимое условие,для того чтобы около него можно было описать окружность. Это означает, что если многоугольник — правильный, то около него можно описать окружность, но неверно, что если он неправильный, то около него нельзя описать окружность (существуют и неправильные многоугольники, около которых можно описать окружность).

Необходимое и достаточное условие в математике час­то называют признаком.

Признак обычно формулируется с помощью слов «необ­ходимо идостаточно», или в виде эквиваленции, которая, как известно, представима в виде конъюнкции двух им­пликаций. Одна из этих импликаций выражает теорему, до­казывающую необходимостьпризнака, другая выражает теорему, доказывающую достаточностьпризнака.

Например, признак перпендикулярности двух плоскос­тей: «Для того чтобы две плоскости были перпендикуляр­ными, необходимо и достаточно,чтобы одна из них про­ходила через прямую, перпендикулярную другой» может быть сформулирован и так: «Две плоскости перпендику­лярны, если и только еслиодна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой», т. е. в виде эквиваленции

 

Но эта эквиваленция равносильна конъюнкции двух импликаций:

,

первая из которых выражает теорему, доказывающую не­обходимость признака, вторая — теорему, доказывающую его достаточность.

 

 

 

4.3. Метод математической индукции.

 

Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа приходится доказывать истинность предложений типа

("nÎN) А(n),

т.е. предложения, выражающие некоторое свойство А, присущее любому натуральному числу n.

Доказательство истинности предложения А(n) для всех значений переменной часто удается провести методом математической индукции, который основан на следующем принципе:

Предложение А(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия:

1. Предложение А(n) истинно для n=1.

2. Из предположения, что А(n) истинно для n=k (где k – любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего значения n=k+1.

Этот принцип называется принципом математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом, определяющих натуральный ряд чисел, и, следовательно, принимается без доказательства.

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства. Если требуется доказать истинность предложения А(n) для всех натуральных n, то, во-первых, следует проверить истинность высказывания А(1) и, во-вторых, предположив истинность высказывания А(k), попытаться доказать, что высказывание А(k+1) истинно. Если это удается доказать, причем доказательство остается справедливым для каждого натурального значения k, то в соответствии с принципом математической индукции предложение А(n) признается истинным для всех значений n.

Метод математической индукции широко применяется при доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач на делимость, при решении некоторых геометрических и многих других задач.

Пример:

.

Доказательство.

Проверим, работает ли эта формула при n = 1:

.

Предположим, что тождество верно при n = k, то есть

 

Проверим это тождество при n = k +1, то есть нужно доказать, что

.

 

 

 

 

4.4. Теорема дедукции.

 

Дедукция (от лат. deductio - выведение), переход от общего к частному. Дедукция - это процесс логического вывода перехода по тем или иным правилам логики от некоторых данных предложений - посылок к их следствиям, причём в некотором смысле следствия всегда можно характеризовать как «частные случаи» общих посылок. Термин «Дедукция» употребляется так же и для обозначения конкретных выводов следствий из посылок, т. е. как синоним термина «вывод» в одном из его значений. И чаще как родовое наименование общей теории построений правильных выводов (умозаключений).

Изучение дедукции составляет одну из главных задач логики. В формальной логике, то как к самой по себе системе логических правил, так и к любым их применениям в любой области в полной мере относится положение о том, что всё, что заключено в любой полученной посредством дедуктивного умозаключения «логической истине», содержится уже в посылках, из которых она выведена: каждое применение правила в том и состоит, что общее положение относится к некоторой конкретной («частной») ситуации. Некоторые правила логического вывода подпадают под такую характеристику и совсем явным образом. Например, различные модификации так называемого правила подстановки гласят, что свойство доказуемости (или выводимости из данной системы посылок) сохраняется при любой замене элементов произвольной формулы данной формальной теории «конкретными» выражениями «того же вида».

Под дедукцией часто понимают и сам процесс логического следования. Это обусловливает тесную связь, а иногда даже отождествление, понятия «дедукция» с понятиями вывода и следствия, находящую своё отражение и в логической терминологии. Так, «Теоремой дедукции» принято называть одно из важных соотношений между логической связкой импликации, формализующей словесный оборот «Если..., то... » и отношением логического следования (выводимости): если из посылки А выводится следствие В, то импликация А Þ В («Если А..., то В...») доказуема т. е. выводима уже без всяких посылок, из одних только аксиом.

 

4.5. Приложение логики высказываний к релейно-контактным схемам.