Некоторые свойства бесконечных множеств - раздел Математика, ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
Уже Отмечалось, Что Конечное Множество Не Равномощно Своей Ча...
Уже отмечалось, что конечное множество не равномощно своей части, в то же время, бесконечное множество может быть равномощным своей части. Оказывается, это характеристическое свойство бесконечных множеств.
Теорема 12.Всякое бесконечное множество равномощно некоторой своей части.
Доказательство. Пусть A – бесконечное множество. По теореме 9, существует счетное множество . Не исключается случай равенства этих множеств! Построим следующее отображение:
f(x) = x при xÏ , f(ai) = ai+1 (i=1,2,…).
Очевидно, что f – взаимно однозначное соответствие между A и A{a1}, что и требовалось.
Теорема 8 утверждает, что множество [0,1] «массивнее» множества N. Между этими двумя множествами существует тесная связь.
Теорема 13. |[0,1]|=
Для доказательства надо установить взаимно однозначное соответствие между булеаном множества N и отрезком [0,1]. Нам потребуется запись чисел из отрезка [0,1] в двоичной системе счисления, т.е. в виде , где =0 или 1 при n=1,2,… (вам известно, как число представить в таком виде). Пусть AÌN. Сопоставим ему число в двоичной записи, где тогда и только тогда, когда nÎA. По числу множество A восстанавливается однозначно, т.е. установлено взаимно однозначное соответствие между множеством записей вида и множеством (В этом рассуждении есть пробел, найдите его! Его нетрудно заполнить, но мы этого делать не будем).
Мощность точек отрезка [0,1] называется мощностью континуума.
Отмечалось, что счетные множества это самые «маленькие» бесконечности. Естественным является вопрос: существует ли «самая большая» бесконечность или дорога вверх не имеет конца? Оказывается, справедливо второе: для каждого множества найдется более «мощное», а именно:
Теорема 14.(Вторая теорема Кантора) для всякого множестваA.
Отметим, что в частных случаях этот факт вам уже известен: для конечных множеств это теорема 1, для счетных – теорема 13.
Доказательство в некотором смысле аналогично диагональному методу Кантора.
Вначале проверим, что (легкая часть). Рассмотрим подмножество , состоящее из одноэлементных множеств. = , поскольку отображение , имеющее вид , является взаимно однозначным соответствием. Итак, в есть подмножество, равномощное A, что и требовалось.
Докажем теперь, что (трудная часть). Доказательство будем проводить от противного. Пусть напротив . Это значит, что существует взаимно однозначное отображение . Важно, что любое подмножество является образом некоторого элемента множества ! Для каждого элемента aÎ выполняется одно из двух свойств: либо aÎf(a), либо aÏf(a), причем существуют элементы каждого из двух видов: если f(u)=A (по предположению такой элемент существует), то u – элемент первого вида, если f(v)=Æ (по предположению такой элемент также существует), то v – элемент второго вида. Рассмотрим множество, состоящее из элементов второго вида: . По предположению, существует элемент bÎA, для которого Если наше предположение о равномощности справедливо, то либо bÎV, либо bÏV.
Пусть bÎV. По определению V это означает, что – противоречие! Пусть теперь bÏV. Поскольку в V входят ВСЕ элементы A, для которых , то b этим свойством не обладает и потому bÎV. И здесь противоречие!
Мощность множества иногда называют мощностью гиперконтинуума.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования... Уфимский государственный авиационный технический университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Некоторые свойства бесконечных множеств
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Основной принцип комбинаторики
1.1.1 . От Москвы до Уфы можно добраться поездом, самолетом или теплоходом, а от Уфы до Чишмов – поездом, автобусом или на такси. Сколькими способами можно в совокупности добраться
Размещения с повторениями
1.2.1 . Замок в автоматической камере хранения состоит из 4 дисков, на каждом из которых написаны буквы а, б, в, г, д, е. Сколько различных кодов можно получить?
1.2.2 . В
Размещения без повторений
1.3.1 . Сколько словарей следует издать, чтобы можно было переводить тексты непосредственно с любого из шести языков на каждый из них? А если языков десять?
1.3.2 . Каков о
Перестановки
1.4.1 .Сколькими способами могут встать в очередь 10 человек?
1.4.2 . Каков ответ в задаче 1.3.3, если студентов 20?
1.4.3 . Каков ответ в задаче 1.3.4, если разли
Сочетания (без повторений)
1.5.1 .В шахматном турнире участвовали 10 человек. Сколько состоялось партий, если каждая пара игроков встретилась один раз?
1.5.2 .Из колоды карт (36 штук) игрок получает
Свойства биномиальных коэффициентов
1.6.1. Докажите, что . Сделайте это четырьмя способами: по определению, по формуле и используя результаты задач 1.5.6 и 1.5.7.
1.6.2. Докажите, что
.
Сдел
Разбиения множеств
Число сочетаний можно интерпретировать как число способов, которым n-элементное множество можно разбить на два подмножества, в одном из которых m, а во втором ( ) элем
Сочетания с повторениями
1.8.1. В магазине продаются карандаши двух видов. Сколькими способами можно купить пять штук? А если надо купить 8 карандашей 4 видов?
1.8.2. Каков ответ в задаче 1.2.4, ес
Разные задачи
В предыдущих параграфах вы познакомились с основными приемами элементарной комбинаторики. В этом параграфе эти приемы (или их комбинации) применяются в различных ситуациях.
Производящие функции
По биному Ньютона (задача 1.5.7) коэффициентами многочлена являются величины .
1.10.1. Каков смысл коэффициентов при zm многочленов
Использование рекуррентных соотношений
1.11.1. Пусть f(n.m) – число сочетаний с повторениями из n по m (задача 8.4). Проверьте, что
1.11.2. f(n.0)=1, f(
Формула включений и исключений
1.12.1. В группе 25 студентов, 15 занимаются лыжами, 12 – коньками, 8 и тем, и другим. Сколько студентов не занимается этими видами спорта?
1.12.2. (Обобщение) Проверьте, ч
Булеан множества
Каждое множество порождает новое множество несколько необычным образом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Булеаном множестваA называется совокупность всех подмножеств множества A
Отношения на множествах
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. n-арным отношением на множествеA называется подмножество G прямого произведения An. Таким образом, n-арное отношение на A
Отображения (функции)
С понятием «функция»в некоторых частных случаях вы познакомились в школе. Приведем общее определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Пусть A, B - множества. Отображением(ф
Мощность множеств
Речь пойдет о том, как сравнивать между собой разные множества. Начнем с простого примера. Перед вами кучки болтов и гаек. Требуется ответить на вопрос: поровну ли деталей в этих ку
Счетные множества
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Множество, равномощное множеству N, называется счетным.
Иными словами счетными являются такие множества, элементы которых можно занумеровать н
Вопросы для самопроверки
1. Что такое объединение, пересечение, дополнение, симметрическая разность множеств?
2. Какими алгебраическими свойствами обладают операции над множествами?
3. Что
Упражнения
1. Существуют ли такие множества A,B,C, что
2. Справедливы ли следующие утверждения для любых A,B,C?
А) Если A¹B и B¹ C, то
Компьютерные представления графов
Естественно, графы представляются в виде некоторых наборов данных. Подобных представлений существует множество, у каждого есть свои достоинства и недостатки. Общий недостаток состои
Маршруты и связность
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22.Маршрутом (путем)в графе называется последовательность вида , где v – вершины, e – дуги, . Этот маршрут соединяет вершины
Кратчайшие пути в графах
Рассмотрим следующую задачу. В графе Г выделены две вершины: b (начальная) и e (конечная). Требуется найти все пути минимальной длины из b в e (если e
Деревья
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 25.Лесомназывается неориентированный граф без циклов. Деревомназывается связный лес.
Таким образом, дерево характеризуется тремя
ПРЕДЛОЖЕНИЕ.
1. Всякие две вершины дерева можно соединить единственной цепью.
2. Если в дереве не менее двух вершин, то у него не менее двух листов.
Доказательство.
1. Поскольку дерев
Кодирование деревьев
Для помеченных деревьев существует эффективный способ кодирования(его можно использовать для компьютерного представления деревьев).
Найдем лист с минимальным номером, удали
Центр дерева
Под расстоянием d(a,b) между вершинами неориентированного графа, как и ранее, понимается минимальное число дуг в пути, соединяющем эти вершины.
Минимальное остовное дерево(остов)
Пусть некоторое семейство пунктов требуется связать сетью дорог. Известна стоимость прокладки дороги между теми парами пунктов, для которых это возможно. Стоимость прокладки сети до
Эйлеровы графы
Вернемся к задаче Эйлера о кенигсбергских мостах. По существу, задача сводится к построению в графе цикла, который содержит каждую дугу графа по одному разу. Графы, в которых такой
Гамильтоновы графы
Понятие гамильтонова графа очень близко к понятию эйлерова графа, но между ними пропасть, как вскоре выяснится!
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 28.Цикл в графе называется г
Графовые векторы
Понятие степени вершины было введено выше.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 29.Графовым вектором(иногда говорят о графовом разбиении) неориентированного графа называется
Паросочетания и реберные покрытия
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 30.Паросочетаниемв неориентированном графе называется семейство дуг, попарно не имеющих общих вершин.
Очевидно, что подмножество паросоч
Паросочетания в двудольных графах
Двудольные графы упоминались ранее, но формального определения не было.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 32.Граф Г называется двудольным, если множество его вершин являе
Правильная нумерация вершин графа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 33.Нумерация вершин в ориентированном графе называется правильной(или топологической), если наличие дуги (vi,vj
Сетевые графики
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 34.Сетевым графикомназывается ориентированный взвешенный ациклический граф с единственным истоком и единственным стоком.
Сетевые графики
Потоки в сетях
Весам дуг можно дать иную интерпретацию, в результате возникает интересная и важная задача. Пусть в ориентированном взвешенном графе выделены две вершины (b – начальная и
Вопросы для самопроверки
1. Что такое граф? Из чего он состоит? Какие виды графов вы знаете?
2. Какие вершины, дуги называются смежными? Инцидентными?
3. Какие графы называются изоморфными
Упражнения
1. Существует ли неориентированный граф, степени всех вершин которого различны?
2. Постройте неориентированный граф, степени вершин которого равны 2,2,2,3,3,4,5. Существует
Предметный указатель
n-арное отношение на множестве, 21
алгоритм Дейкстры, 50
алгоритм построения матрицы достижимости, 48
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов