Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы.

Линейная зависимость и независ.строк м-цы.Расм.прямоуг.м-цы А_mxn

l₁=(a₁₁,a₁₂,a₁₃,a₁₄,..,a_1n) – 1-я строка; l2=(a₂₁,a₂₂,a₂₃,a₂₄,..,a_2n) – 2-я строка.

l_m=(a_m,a_m2,a_m3,a_m4,..,a_mn) Линейной комбинацией строк м-цы наз-ся выраж. λ– «лямбда».

λ _{1 *} k₁+ λ ₂k₂+… + λ _m-1k_{m -1}+ λ _mk_m , где все λ -это числа.

Опред.:строки l₁,l₂,..,l_m – линейно независимые,если их линейная комбинация равна нулевой строке,когда все числа λ =0 (λ ₁=0, λ ₂=0, λ ₃=0,.. λ _m=0). Если опред-ль А не=0, то строки линейно независимы.

Опр:строки l₁,l₂,l₃,..l_m-1,l_m – лин.завис.,если их лин.комбинация = нулевой строке только, когда хотя бы одно из чисел λ ₁, λ ₂, λ _m ≠0.

ТЕОР.о ранге м-цы. Ранг м-цы равен максимальному числу её лин.независ.строк или ст-в м-цы, через которые линейно выражаются все остальные её строки (ст-цы).

Пусть м-ца А размера mxn имеет ранг r(r≤min(m;n)). Это означает,что сущ-ет отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий нулевой минор r-го порядка будет наз-ть базисным минором. Пусть для определённости это минор

|a₁₁ a₁₂ ... a_1r|

|a₂₁ a₂₂ ... a_2r|

∆= |... | ≠0.

|a_r1 a_r2 ... a_rr|

Тогда строки м-цы e1,e2,...,er линейно независимы. Предположим противное,т.е.одна из этих строк,напр. еr, явл-ся лин-й комбинацией остальных:

e_r=λ₁e₁+λ₂e₂+...+λ_r-1e_r-1.

Вычтем из эл-тов r-й строки эл-ты 1-й строки,умноженные на λ₁, эл-ты 2-й строки, умноженные на λ₂, и т.д., наконец,эл-ты (r-1)-й строки,умнож-е на λ_r-1. При таких преобразованиях м-цы её опред-ль ∆ не изм-ся, но т.к. теперь r-я строка будет состоять из одних нулей, то ∆=0 – противоречие, и наше предполож.неверно.

6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), n-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе.

Геом.вектор. Вектор АВ^-> – направленный отрезок прямой (АВ) с нач.в т.А и концом в т.В. При умнож.вектора на число «У» получается коллинеарный в-р.

Длина в-ров |АВ|= кв.корень х²+у²

В-ры,лежащие на одной прямой наз-ся коллинеарными. В-ры,лежащие в одной плоскости или ||-ных плоскостях наз-ся компланарными. Если нач.и конец вектора совп.,то в-р наз-ют нулевым. Длина нул.вект.=0.

Вектором,противоп-м в-ру а^->,наз-ся произвед.в-ра а^->на ч-ло (-1),т.е. - а^->=(-1)а^->.

Координатами в-ра а^-> наз-ся корд-ты его конечной точки. На плоскости Oxy два ч-ла - (х;у), в пространстве Oxyz три ч-ла - (х;у;z).

В-р а^-> = (x;y;z) мож.б.записан в виде а^-> = хi^-> +yj^->+zk^->. i^->,j^->,k^-> – единичные в-ры(орты),совпадающие с направл.соотв.осей Ох,Оу,Оz. хi^->,уj^->,zk^-> - компоненты в-ра.

Операции над в-ми:

1) Суммой двух в-ров а^-> и b^-> наз-ся в-р с^->=а^->+ b^->,нач.кот.совп-т с нач.в-ра а^->, а конец – с концом в-ра b^->при усл.,что нач.в-ра b^-> совп.с концом в-ра а^->.

Правило треугольника. Для слож.2-х в-ров а^->и b^-> по правилу треуг-ка оба эти в-ра переносятся ||-но самим себе так,чтобы нач.одного из них совп.с концом другого. Тогда в-р суммы задаётся 3-ей стороной образовавшегося треуг-ка, причём его нач.совп.с нач.первого в-ра.

2)умнож.в-ра на ч-ло:при умнож.в-ра на ч-ло Y пол-ся коллинеарный в-р. (Произвед.в-ра а^-> на ч-ло У наз-ся в-р b^->=Уа^->,имеющий длину |b^->|=|У||а^->|,направление кот.совп.с направл.в-ра а^->, если У<0.) Если b^->= а^->Y,то а^->|| b^->. И наоб.,если а^->|| b^->( а^->не=0),то b^->= а^->Y.

3) Разностью 2-х в-ров а^->и b^-> наз-ся сумма в-ра а^-> и в-ра -b^->,противоположного b^->.

||Скалярным произведением 2-х в-ров наз-ся ч-ло,равное произведению длин этих в-ров на косинус угла между ними: а^-> * b^-> *cosф, где ф-угол между в-рами а^-> и b^->. В-ры явл-ся ||-ми тогда и только тогда, когда их скал.произвед.=0.

||n-мерным в-ром наз-ся упорядоченная совокуп.n действительных чисел,записываемых в виде х=(х₁,х₂,..,х_n),где числа х₁,х₂,х₃,..х_n компоненты в-ра.

Равенство в-ров.Векторы х и y равны тогда и только тогда, когда равны их соотв.компоненты,т.е. х=у,если х_i=у_j, i=1,2,…,n.

Суммой 2-х в-ров одинак.размерности n наз-ся в-р z=x+y,компоненты кот.равны сумме соотв.компонент слагаемых в-ров,т.е.z_i=x_i+y_i,i=1,2,...,n.

Произв-м в-ра на действит.ч-ло Y наз-ся в-р u=Yx,комп-ты кот.равны произв-ю Y на соотв.комп-ты в-ра х,т.е. u_i = Yx_i, i=1,2,...,n.

Линейные оп-ции над люб.в-рами удовлет.след.св-вам: 1)х+у=у+х – коммутативное, 2)(х+у)+z=х+(у+z) – ассоциативное(сочетательное), 3)альфа(бета*х)=(альфа*бета)х, 4)альфа(х+у)=альфа*х+альфа*у, 5)(альфа*бета)х=альфа*х+бета*х, 6)сущ-т нул.в-р 0=(0,0,…,0)такой,что х+0=х для люб.в-ра х., 7)для люб.в-ра сущ-т противоп.в-р (-х) такой,что х+(-х)=0., 8)1*х=х для люб.в-ра х.

Опр.:ВЕКТОРНОЕ ПР-ВО:множество в-ров с действит.компонентами,в котором определены операции сложения в-ров и умнож.в-ра на ч-ло,удовлетворяющее приведённым выше 8-ми св-вам.

n-векторное пространство – это множество всех n-мерных векторов.

Вектор а_m наз-ся линейной комб-ей в-ров а₁,а₂,..,а_m в-рного простр-ва R,если он равен сумме произв-ний этих в-ров на произвол.действит.ч-ла: am= Y₁a₁+ Y₂a₂+ ...+Y_m-1a_m-1, где Y₁,Y₂,...,Y_m-1 – какие угодно действит.ч-ла.

Опр.:В-ры а₁,а₂,…,а_m в-рного простр-ва R наз-ся лин.завис.,если сущ-ют такие ч-ла Y1,Y2,...,Ym,не равные одновременно нулю, что Y₁a₁+Y₂a₂+...+ Y_ma_m=0. В противном случае в-ры наз-ют лин.независ.

Лин.простр-во наз.n-мерным,если в нём сущ-ет n линейно независ.в-ров,а любые из (n+1) в-ров уже явл-ся завис. Размерность пр-ва – это максимально ч-ло содержащихся в нём линейно независ.в-ров. Ч-ло n наз-ся размерностью пр-ва R. Совокупность n линейно независ.в-ров n-мерного пр-ва таких,что любой в-р прост-ва может быть единственным образом представлен в виде их лин.комбинации наз-ся БАЗИСОМ.