рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Некоторые законы распределения случайных величин

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Некоторые законы распределения случайных величин

Некоторые законы распределения случайных величин - раздел Математика, Лекция 4. СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ 1. Биномиальное Распределение.Пусть Производится П Ис...

1. Биномиальное распределение.Пусть производится п испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события А в одном испытании равна р, то вероятность его ненаступления равна q = 1 - р.

Найдем вероятность того, что при п испытаниях событие А наступит т раз (m£п).

Пусть событие А наступило в первых т испытаниях т раз и не наступило во всех последующих испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения:

Общее число сложных событий, в которых событие А наступает т раз, равно числу сочетаний из п элементов по т элементов. При этом вероятность каждого сложного события равна: р^тqⁿ^-т. Так как эти сложные события являются несовместимыми, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Итак, если Р_п(т) есть вероятность появления события А т раз в п испытаниях, то

Р_п(т) = р^тqⁿ^-т

или

Р_п(т) = р^тqⁿ^-т. (9.15)

Формулу (9.15) называют формулой Бернулли.

Пример 9.12.Пусть всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найдем вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Решение, а) В данном случае п = 4, т = 3, p= 0,9, q=1-р= 0,1. Применим формулу Бернулли (9.15):

Р₄(3) = ×(0,9)³×0,1 =0,2916.

б) Искомое событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей Р(А) = Р₄(3) + Р₄(4). Но Р₄(4) = (0,9)⁴= 0,6561. Поэтому Р(А) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477.

Снова рассмотрим n независимых испытаний, в каждом из которых наступает событие А с вероятностью р. Обозначим через X случайную величину, равную числу появлений события А в п испытаниях.

Понятно, что событие А может вообще не наступить, наступить один раз, два раза и т.д. и, наконец, наступить п раз. Следовательно, возможными значениями величины А будут числа 0, 1, 2, ..., п - 1, п. По формуле Бернулли можно найти вероятности этих значений:

Р_п(0) = qⁿ

Р_п(1) = р qⁿ^-1

……

Р_п(т) = р^тqⁿ^-т_.

Запишем полученные данные в виде таблицы распределения:

X			...	т	...	n
р	qⁿ	р qⁿ^-1	…	р^т qⁿ^-m	...	рⁿ

Построенный закон распределения дискретной случайной величины X называют законом биномиального распределения.

Найдем М(Х). Очевидно, что Х_i — число появлений события А в каждом испытании — представляет собой случайную величину со следующим распределением:

X_i
р_i	q	р

Поэтому М(X_i) =0×q+ 1×р = р. Но так как X = Х₁ + ... +Х_n, то М(X) =np.

Найдем далее D(Х) и s(Х). Так как величина X_i² имеет распределение

X_i²	0²	1²
р_i

то М(X_i²) =0²×q+ 1²×р = р. Поэтому D(X_i)= М(X_i²)- М² (X_i)= р-p²= р(1-p)= pq.

Наконец, в силу независимости величин Х₁, Х₂, ..., Х_n,

D(X)= D(X₁)+ D(X₂)+ ... + D(X_n)= npq.

Отсюда s(Х)=

Пример 9.13.Случайная величина X определена как число выпавших гербов в результате 100 бросаний монеты. Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение X.

Решение. Вероятность появления герба при каждом бросании монеты р=½. Следовательно, вероятность непоявления герба q =1-½=½. Случайная величина X имеет биномиальное распределение при п = 100 и р = ½. Поэтому

М(X) =np=100×½=50; D(X)= npq=100×½×½=25; s(Х)== =5.

Пример 9.14.Допустим, что для хищника вероятность поимки отдельной жертвы составляет 0,4 при каждом столкновении с жертвой. Каково ожидаемое число пойманных жертв в 20 столкновениях?

Решение. Это пример биномиального распределения при n=20 и р=0,4. Ожидаемое число есть М(Х) - пр = 20×0,4 = 8.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Лекция 4. СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий Пример Испытание... Вопросы для контроля знаний и подведения итога прочитанной... Дайте определение случайной величины...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Некоторые законы распределения случайных величин

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Лекция 4. СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ
Цель: Изучить основные понятия теории вероятности План: 1.Основные понятия. Определение вероятности 2. Свойства вероятности 3. Вопросы для контроля знаний и подв

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий.
Определение 1. Суммой событий А и В называют событие С = А + В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или

Формула полной вероятности.
Теорема 8.5. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из п попарно несовместимых событий В1, В2,... , В

Формула Бейеса.
Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается, как изменились (в связи с тем, ч

Вопросы для контроля знаний и подведения итога прочитанной лекции
1. Дайте определения противоположным, независимым, несовместным событиям. Приведите примеры таких событий. 2. Что называется полной группой событий? 3. Сформулируй

Случайные величины
1. Понятие «случайные величины». Определение 1. Случайной величиной называют переменную величину, которая в зависимости от исхода испытания случайн

Математическое ожидание дискретной случайной величины
1. Понятие математического ожидания.Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину. Однако часто встречаются случаи, когда закон распределения случайной величин

Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.
1.Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине. Постоянную С можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую лишь одно зн

Дисперсия дискретной случайной величины
1. Понятие дисперсии.Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Покажем это на примере. Пусть заданы две дискретные случайные ве

Среднее квадратическое отклонение.
Определение. Средним квадратическим отклонением s(X) случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии: s(X) =

Понятие о моментах распределения.
Определение 1. Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание случайной величины Xk, где k — натуральное

Непрерывные случайные величины
1. Интегральная функция распределения. Для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной нельзя построить таблицу распределения. Поэтому непрерывные случайные величины изучают другим спосо

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
Определение 1. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью вероятности f(x) называют величину несобственного интеграла (если он сход

Локальная и интегральная предельные теоремы Лапласа.
Если число испытаний п велико, то вычисления по формуле Бернулли становятся затруднительными. Лаплас получил важную приближенную формулу для вероятности Рn(т) появления соб

Гипергеометрическое распределение
Гипергеометрическое распределение имеет место при выборочном контроле конечной совокупности объектов объёма N по альтернативному признаку. Каждый контролируемый объект классифицируетс

Генеральная совокупность и выборка
Мы приступаем к изучению элементов математической статистики, в которой разрабатываются научно обоснованные методы сбора статистических данных и их обработки. 1. Генеральная совоку

Оценки параметров генеральной совокупности по ее выборке
1. Выборка как набор случайных величин.Пусть имеется некоторая генеральная совокупность, каждый объект которой наделен количественным признаком X. При случайном извлечении о

Лекция 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Цель: Изучить основные понятия теории графов План: 1. Основные понятия и определения графа и его элементов 2. Деревья. Лес. Бинарные деревья 3. Способы задания г

Деревья. Лес. Бинарные деревья
С вершины дорога вперед — только вниз. Я. Таранов Деревомназывают конечный связный граф с выделенной вершиной (корнем),не имеющий циклов (

Сети. Сетевые модели представления информации
В этом проглядывается талант исследователя охватить значительные районы явлений с помощью немногочисленных допущений, представить разносторонние совокупности предметов и процессов в сжатой, компакт

Применение графов и сетей
Храни порядок, и порядок сохранит тебя. Латинская формула Сети получили широкое практическое применение потому, что они являются естественным и удобным способом изображения