рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Линейные комбинации. Линейная оболочка

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Линейные комбинации. Линейная оболочка

Линейные комбинации. Линейная оболочка - раздел Математика, Список основных статей по линейной алгебре Пусть ...

Пусть — некоторое подмножество элементов из .

Определение 1. Линейной комбинацией¹⁾ элементов из называют сумму , где лишь конечное число элементов отлично от нуля. Элементы называются коэффициентами²⁾ линейной комбинации.

Пример 1. Кольцо многочленов над полем является, в частности, векторным пространством. Пусть . Линейная комбинация этих векторов — это многочлен степени 2.

Предложение 1. Множество всех линейных комбинаций элементов из является подмодулем в модуле .

Определение 2. Пусть — множество всех линейных комбинаций элементов из , тогда называется подмодулем,порожденным , или -линейной оболочкой³⁾ множества , и обозначается . При этом называют множествомобразующих⁴⁾ для .

В частном случае векторного пространства над полем данное определение можно переформулировать следующим образом:

Определение 2'. Линейной оболочкой⁵⁾ подмножества линейного пространства называется множество всех линейных комбинаций векторов из . Говорят также, что оболочка порождена векторами , или что оболочка натянута на вектора .

Пример 2. В кольце многочленов над полем выберем множество . Линейную оболочку составляют всевозможные многочлены , то есть .

Пример 3. Кольцо многочленов от двух переменных можно рассматривать как левый модуль над кольцом . Пусть, тогда -линейная оболочка множества состоит из элементов , где . Таким образом, .

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Список основных статей по линейной алгебре

Базис и размерность векторного пространства Определение порождает линейно... Билинейное... Векторное пространство Определение для всех для всех...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейные комбинации. Линейная оболочка

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Список основных статей по линейной алгебре
§ Аффинное пространство § Базис и размерность векторного пространства § Билинейное отображение § Ве

Точечно-векторная аксиоматика аффинного пространства
Определение 1. -мерным аффинным пространством над пол

Определение
Определение 1. Базисом1) ненулевого векторного пространства

Переход от одного базиса к другому
Пусть —

Определение
Пусть — ассоциативное коммутативное кольцо,

Билинейная форма
Пусть — ассоциативное коммутативное кольцо,

Матрица билинейной формы
В случае, когда и

Определение
Определение 1. Пусть — некоторое поле. Абелева группа1)

Подпространство векторного пространства
Определение 2. Непустое множество векторов векторного пространства

Факторпространство
Пусть — подпространство векторного пространства

Определение
Пусть — векторное пространство над полем

Двойственный базис
Предложение 1. Пусть — векторное пространство размерности

Жорданова матрица
Для произвольного поля определены матрицы специального вида с элементами из

Жорданова нормальная форма
Пусть — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве

Корневые подпространства
Пусть — собственное значение линейного оператора

Определение
Пусть — ассоциативное коммутативное кольцо,

Определение
Пусть — векторное пространство над полем

Матрица квадратичной формы
Определение 2. Пусть — квадратичная форма на конечномерном векторном пр

Квадратичная форма на вещественном векторном пространстве
Пусть — конечномерноевекторное пространство над полем действительных чисел

Закон инерции квадратичных форм
Определение 1. Говорят, что квадратичная форма в базисе

Положительная определенность
Определение 3. Квадратичная форма называется невырожденной, если ее ранг равен размерности

Неопределенной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Пример 1. Пусть имеет в некотором базисе

Линейная зависимость
Пусть — (левый) модуль над ассоциативным кольцом

Линейная зависимость
Определение 3. Набор элементов модуля

Определение
Определение 1. Линейное пространство над полем

Определение
Определение 1. Пусть — векторные пространства над полем

Частные случаи
Определение 3. Линейное отображение называется линейным оператором

Свойства линейного отображения
Определение 5. Ядром9) линейного отображения

Основные определения
Определение 1. Матрицей1) размера

Транспонирование
Пусть — матрица порядка

Сложение и умножение на скаляр
Пусть и

Умножение матриц
Пусть и

Определение
Определение 1. Пусть и

Определение
Определение 1. Многочлен минимальной степени, аннулирующий оператор

Определение
Пусть — линейный оператор с матрицей

Определитель
Пусть — квадратная матрица порядка

Свойства определителя
Предложение 1. Определитель квадратной матрицы и определитель транспонирова

Пересечение и сумма
Пусть и

Внутренняя прямая сумма
Определение 2. Пространство называется прямой суммой2

Внешняя прямая сумма
Пусть и

Горизонтальный и вертикальный ранг
Пусть — поле, и

Элементарные преобразования матрицы
Определение 3. Элементарными преобразованиями3) строк матрицы называются преобразования следующих трех типов: 1. перестановка двух строк,

Минорный ранг
Определение 5. Число называется минорным рангом5)

Определение
Пусть — (левый) модуль над ассоциативным кольцом

Скалярное произведение
Определение 1. Пусть — векторное пространство над полем

Евклидово пространство
Определение 2. Евклидовым векторным пространством2) называется векторное пространство над полем

Алгебраическое дополнение
Определение 3. Пусть — минор порядка

Теорема Лапласа
Теорема 1. (Теорема Лапласа) Зафиксируем в квадратной матрице

Решение.
Способ 1. Вычислим определитель по «правилу треугольника». .

Определители высших порядков
Задача 3. Вычислить определитель . Решение.

Собственные вектора и собственные значения
Определение 2. Ненулевой вектор из одномерного подпространства, инвариантного относительно

Характеристический многочлен
Определение 5. Характеристическим многочленом11) оператора

Правило Крамера
Задача 1. Решить систему линейных уравнений

Базис и размерность пространства
Так как в линейном пространстве векторы можно складывать и умножать на числа, то из них можно составлять линейные комбинации и можно ввести понятия линейной зависимости и линейной независимости сис

Решение.
По определению ядро линейного оператора , или ker