Поняття відображення

Відношення R, задане на множинах А та В, називається функціональним, якщо для кожного елемента xÎА існує не більше одного елемента yÎВ такого, що <x,y>ÎR. Іншими словами, у функціональному відношенні R, заданому на множинах А та В, кожен елемент множини А може бути (першим) компонентом не більш, як однієї пари, що належить R.

Наприклад, відношення R={<1,b>,<3,a>,<4,b>}, задане на множинах A={1,2,3,4} та B={a,b,c}, є функціональним, оскільки кожен з елементів 1,3,4 з множини А є першим компонентом лише однієї пари відношення R, а елемент 2 з множини А не є першим компонентом жодної пари відношення R. Відношення Q={<1,a>,<1,b>,<2,c>}, задане на тих самих множинах А та В, не функціональне, тому що елемент 1 з множини А зустрічається двічі (тобто більше одного разу) на першому місці у парах, які належать Q. Не функціональними є також відношення < та £ на множині N, оскільки для кожного числа n з N існує не одне число mÎN таке, що n<m й n£m.

Нехай R – відношення, задане на множинах А та В. Назвемо областю визначення відношення R (позначається D(R)) множину {x| xÎA, існує yÎВ такий, що <x,y>ÎR}. Областю значень відношення R (позначається R(R)) назвемо множину {y| yÎB, існує такий xÎA, що <x,y>ÎR}.

Нехай, наприклад, RÍA´B, A={1,2,3,4}, B={1,3,5}, R={<1,1>, <1,5>,<2,3>,<3,5>,<3,3>}. Тоді D(R)={1,2,3}, R(R)={1,3,5}.

Функціональне відношення F на множинах А та В назвемо відображенням множини А у множину В (або функцією з А у В), якщо D(F)=А. Функціональне відношення F на множинах А та В назвемо частковим відображенням множини А у множину В (або частковою функцією з А у В), якщо D(F)ÌА. Позначатимемо (часткове) відображення F множини А у множину В через F: А®В. Якщо <a,b>ÎF, то елемент b називають образом елементу а, елемент а – прообразом елементу b при відображенні F й пишуть b=F(a). Множина усіх відображень А у В позначається В^А.

Часто відображення множини A у множину B задається у вигляді F(x)=t(x), де xÎA, t(x) – деякий вираз. Наприклад, відображення F:N®N, F={<x,y>| x,yÎN, y=2x}, можна задати у вигляді F(x)=2x.

Відображення множини А у множину А називають перетворенням множини А.

Через F^-1(b) позначимо множину {a| aÎA, F(a)=b}; F^-1(b) називається повним прообразом елементу b при відображенні F. Нехай F:А®В й ХÍА. Образом множини Х при відображенні F (позначається F(Х)) назвемо множину {y| yÎB, F^-1(y)¹Æ}.

Наведемо приклади відображень. Відношення F={<1,a>,<2,a>,<3,c>, <4,d>,<5,d>}, задане на множинах А={1,2,3,4,5} та В={a,b,c,d,e}, є відо-браженням А у В, тому що F функціональне й D(F)={1,2,3,4,5}=А. F^-1(a)={1,2}, F^-1(b)=Æ, F^-1(c)={3}, F^-1(d)={4,5}, F^-1(e)=Æ, F(A)={a,c,d}, F({1,2,3})={a,c}. Відно-шення Q={<2,c>,<3,d>,<5,b>}, задане на тих самих множинах, є частковим відображенням А у В, тому що Q функціональне й D(Q)={2,3,5}ÌА.

Зауважимо, що коли F (F:A®B) – відображення, то відношення F^-1 може не бути відображенням. Розглянемо, наприклад, множини A={1,2}, B={a,b} та відображення F={<1,a>,<2,a>} А у В. F^-1={<a,1>,<a,2>}. F^-1 – нефункціональне відношення на множинах В та А, отже, F^-1 не є відображенням В у А.

Якщо А=А₁´…´А_n, то (часткове) відображення F: А®В називають (частковим) відображенням множини А₁´…´А_n у множину В (або (частковою) функцією з А₁´…´А_n у В).

Нехай, наприклад, A₁={1,2,3}, A₂={2,4}, A₃={a,b}, B={d,f,g}. Відношення F={<1,4,a,f>,<2,2,a,d>,<1,2,b,f>,<3,2,a,d>}, задане на множинах А₁, А₂, А₃, В, є частковим відображенням А₁´А₂´А₃ у В. Відношення R={<1,2,a,d>,<1,2,a,f>, <2,4,b,g>}, задане на тих самих множинах, не функціональне на множинах А₁´А₂´А₃ та В, оскільки для елементу <1,2,a> множини А₁´А₂´А₃ існує два (тобто більше одного) елемента у з множини В (це елементи d та f) таких, що <1,2,a,у>ÎВ, отже, R не є відображенням А₁´А₂´А₃ у В.

Теорема 11. Довести, що для будь-якої функції F виконується:

1) F(AÈB)=F(A)ÈF(B), 2) F(AÇB) Í F(A)ÇF(B),

3) F(A)F(B)=F(AB), 4) AÍB Þ F(A)ÍF(B),

5) F(A)=Æ Û AÇD(F)=Æ, 6) F^-1(AÈB)=F^-1(A)ÈF^-1(B),

7) F^-1(AÇB)=F^-1(A)ÇF^-1(B), 8) F^-1(AB)=F^-1(A)F^-1(B),

9) AÍB Þ F^-1(A)ÍF^-1(B), 10) F^-1(A)=Æ Û AÇR(F)=Æ.

Доведемо перше твердження. Нехай xÎF(AÈB). Тоді у множині AÈB існує такий елемент у, що х=F(y); yÎA або уÎВ. Розглянемо перший з цих випадків: yÎA Þ xÎF(A) Þ xÎF(A)ÈF(B). У випадку yÎB маємо: yÎВ Þ xÎF(B) Þ xÎF(A)ÈF(B). Отже, F(AÈB)ÍF(A)ÈF(B). Нехай тепер хÎF(A)ÈF(B). Тоді xÎF(A) або xÎF(B). У випадку xÎF(A) у множині А існує такий елемент у, що х=F(y), але уÎАÈВ й тоді хÎF(AÈB). Якщо xÎF(B), то у множині В існує такий елемент z, що х=F(z). Оскільки zÎB Þ zÎAÈB, то хÎF(AÈB). Таким чином, F(A)ÈF(B)ÍF(AÈB). Отже, F(AÈB)=F(A)ÈF(B).