Определение двойного интеграла - раздел Математика, Математика
Пусть Дана Функция Z = F(X,y) , Определённая И Непрерывная В ...
Пусть дана функция z = f(x,y) , определённая и непрерывная в некоторой замкнутой области D , граница Г которой простая замкнутая линия ( такую замкнутую область называют простой областью ).
Разобьём область D на n частичных (элементарных) областей (простых ) Di ( i=1,2,... ,n) ( без общих внутренних точек ) с помощью некоторой сети кривых .
Площади этих областей обозначим соответственно через DS1, DS2, . . . , DSn .В пределах каждой частичной области Di выберем произвольным
образом по точке (xi ;hi) и составим сумму :
.
Всякую такую сумму называют интегральной суммой для функции f(x,y) соответственной области D .
Меняя сеть разбиения и способ выбора точек в частичных областях , мы можем составить бесконечно много интегральных сумм , различных между собой.
Будем теперь неограниченно увеличивать число n разбиений области D на частичные области Di , но так , чтобы все d(Di) взятых областей стремились к нулю при этом .
Может случится , что тогда интегральная сумма s будет иметь предел , не зависящий ни от способа разбиения области D на частные области Di ; ни от способа выбора точек (xi ; hi) в этих областях.
Этот предел I записывают следующим образом :
. (6.7.7)
Определение 1
Если при d(Di) ® 0 интегральная сумма s имеет предел , то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x,y) , взятым по области D , и обозначается
.
Функция f(x ,y) при этом называется интегрируемой в области D .
Следовательно , по определению
.
Символ dS называется элементом площади .
Возвращаясь к рассмотренной выше задаче , можно , исходя из приведённого определения , сказать , что в случае интегрируемости в D функции f(x,y) объём цилиндрического тела равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D :
. (6.7.8)
Эта формула показывает , что двойной интеграл от неотрицательной непрерывной функции геометрически выражает собой объём цилиндрического тела .
Элемент площади dS = dxdy , т.е. равняется произведению дифференциалов независимых переменных .
Доказано , если разбивать область D прямыми , параллельными осям ОХ и ОУ , то частичными будут служить прямоугольники .
Площадь каждой частичной области DS будет равна произведению DхDу.
Поэтому элемент площади dS = dxdy .
Таким образом òò является прямым обобщением понятия простого определения ò на случай функции двух переменных .
Все темы данного раздела:
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Программа дисциплины имеет целью обеспечить базовую подготовку в области математических наук: алгебра, геометрия, математический анализ, теория вероятностей и случайные процессы, математическая ста
Трудоемкость дисциплины по видам занятий
Виды учебных занятий
Трудоёмкость
Семестры
В часах
В зачетных
Непрерывность
Лекция 2.
Элементы математической логики: необходимое и достаточное условия, прямая и обратная теоремы. Символы математической логики, их использование. Множе
II семестр
Раздел 5. Элементы теории функции комплексного переменного и высшей алгебры
Лекция 1.
I семестр
Занятие 1
1. Свойства и вычисление определителей различных порядков. Решение линейных и алгебраических уравнений по формулам Крамера.Матрицы и действия над ними. Обращение матрицы. Решение
Определители и их вычисления
Матрицей размера mxn называется таблица, состоящая из m строк и n столбцов:
, (6.1.1)
где - элементы матрицы A, первый индекс i указывает на номер строки, а второй j на номер стол
Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса
Рассмотрим систему, составленную из трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными.
(6.1.11.)
Решением (2.1)называется система из трех чисел, удовлетв
Прямая на плоскости
Всякая прямая линия определяется в заданной прямоугольной декартовой системе координат Оху уравнением первой степени относительно переменных х и у.
Плоскость
Уравнение плоскости с нормальным вектором = {А,В,С} и проходящей через точку M0(x0,y0,zo) имеет вид
А(х -х0) + В(у - у
Прямая в пространстве
Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей
(6.2.19)
причем должно нарушаться хотя бы одно из равенств
,
чтобы эти плоскости пе
Кривые второго порядка
Канонические уравнения:
эллипса ,
гиперболы ,
параболы ;
Эксцентриситеты
эллипса ,
гиперболы
параболы ,
где rи d
Поверхности II порядка. Канонические уравнения
Название поверхности
Каноническое уравнение
эллипсоид
(рис.1)
Пределы функций
При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.
1 Функция f(x) определена в предельной точке x=a. Т
Дифференциальные исчисления функций одной переменной
Основные формулы:
Производная от функции у=f(х) по аргументу х
или (6.3.4)
Формулы дифференцирования основных функций:
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Частные производные функции
Частные производные функции по аргументам x, y и
Z соответственно определяются как соответствующие пределы ( если они существуют):
На непрерывность
Пример6.5.1.
Найти точки разрыва функции и исследовать их характер:
а) у = 1/(х + 3); б) у =1/(1 + 21/х).
Построить схематич
Неопределенные интегралы
Многочлены. Теорема Безу
Многочленом n-й степени наз-ся функция вида:
где - постоянные коэф-ты
Первообразная функция.
Определение 1.Функция , определённая в промежутке ,называется первообразной данной функции в этом промежутке , если для любого значения выполняется равенство:
.
Пример 6
Непосредственное интегрирование
Метод непосредственного интегрирования является одним из простейших методов интегрирования.
Он опирается на:
1) таблицу интегралов;
2) основные свойства неопределенных ин
Основные методы интегрирования
К наиболее важным методам интегрирования относятся:
1) метод непосредственного интегрирования (с которым мы познакомились в предыдущей лекции);
2) метод замены переменной;
Метод интегрирования по частям
Этот метод основан на следующей формуле: (*)
Пусть и - функции от х, имеющие непрерывные производные и .
Известно, что или ; или .
Интегралы и , так как по условию функци
Метод неопределенных коэффициентов.
Равенство (I) есть тождество. Приведя его к целому виду, получим равенство 2-х многочленов. Но такое равенство всегда выполняется лишь при условии почленного равенства этих многочленов.
Пр
Частные подстановки
Как уже было сказано, универсальная подстановка нередко приводит к сложным выкладкам.
В указанных ниже случаях предпочтительнее сделать частные подстановки, так же рационализирующие интегр
Вычисление интегралов вида
где и
Здесь остановимся на следующих 3-х случаях:
1) и - четные неотрицательные числа.
В этом случаи неопределенные интегралы находятся с помощью тригоном
Интегрирование биноминального дифференциала.
Интеграл от биноминального дифференциала, то есть интеграл вида ;
Где m,n,p – рациональные числа,
а, в – отличные от нуля постоянные (здесь “n” - любое рациональное число).
Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского
Мы видели, что интегрирование некоторых рациональных дробей часто связано с утомительными выкладками.
Метод Остроградского значительно сокращает и упрощает интегрирование этих дробей, что
Подстановки Эйлера
Интегралы вида
Где - рациональная относительно и функция;
; могут быть вычислены с помощью специальных рационализирующих подстановок, называемых подстановками Эйлера.
Воо
Понятие определенного интнграла
Пусть на [a;b] задана непрерывная функция у =f(x).
Разобьем отрезок [a; b] на n частичных отрезков с помощью произвольно выбранных на нем точек .
На каждом из отрезков (час
Замена переменной в определенном интеграле
Пусть требуется вычислить , где f(x)- непрерывная на [a;b] функция. Часто здесь бывает удобно применить, как и в случае вычисления неопределенного интеграла, замену переменной путем введения
Вычисление площади Фигур
Площадь в прямоугольных декартовых координатах Площадь криволинейной трапеции
При постановке задачи определенного интегрирования мы уже рассмотрели вопрос о вычислении площ
Вычисление объемов тел
Вычисление объема тела по площади поперечногo сечения
Пусть дано тело произвольной формы, заключенное между плоскостями x=a и x=b. Кроме того, пусть известна площадь любого поперечного сеч
Криволинейные, кратные и поверхностные интегралы
Объём цилиндрического тела. Двойные интегралы
Подобно тому как задача о вычислении площади криволинейной трапеции привела нас к понятию простого определённого интеграла ,
Свойства двойного интеграла
Двойной интеграл обладает рядом простейших свойств , вполне аналогичных соответствующим свойствам простого интеграла .
Доказательство основных свойств двойного интеграла ( подобно доказате
Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат
Рассмотрим способ вычисления двойного интеграла путём его приведения к повторному (двукратному) интегралу , т.е. последовательному вычислению двух простых интегралов .
Мы ограничимся не вп
Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле
Если область D является простой , то для вычисления двойного интеграла применимы обе формулы (1.5) и (1.6) .Следовательно :
.
Это равенство показыв
Замена переменных в двойном интеграле
Пусть в области D существует .
Перейдём к новым переменным U иV по формулам
где G – область определений этих функций .
Формулы называются
Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
Во многих задачах , требующих применения двойных интегралов, прямоугольная система координат не является наилучшей.
Поэтому следует уметь переходить от одной системы координат к другой , б
Тогда .
Для составления интегральной суммы для функции f(x,y) в качестве точек ( xi ,hi ) областей Di выбираем точки , лежащие на средних окружностях радиус
Решение
.
Пример6.8.8.Вычислить двойной интеграл ,
где область D есть кольцо , заключенное между окружностями х2 + у2 = е2
Определение поверхностного интеграла I рода
Пусть в точках поверхности S гладкой ( если в каждой её точке $ касательная плоскость и при переходе от точке к точке положение этой касательной плоскости меняется непрерывно ) определена ограничен
Вычисления поверхностных интегралов I рода
Производится сведением поверхностного интеграла к двойному .
Пусть поверхность S задана уравнением
z = Z (x,y) , где z вместе со своими производными Z1x (x,y
Поверхностные интегралы II рода
Возьмём на гладкой поверхности S произвольную точку М и проведём через неё нормаль к поверхности (M) .
Рассмотрим на поверхности S какой-либо замкнутый контур , проходящий
Контрольная работа №1
Задание 1. Для матрицы третьего порядка вычислите ее определитель
и определитель матрицы, транспонированной к данной.
1. ; 2. ; 3. ;
4. ; 5. ; 6. ;
7. ; 8. ; 9.
Контрольная работа №2
ЗАДАНИЕ 1
Вычислите пределы:
Контрольная работа №3
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Задание 1. Дана функция z=z(x; y), точкаА(x0; y0) и вектор а. Найти производную в точке
Контрольная работа №4
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
Задание 1.
Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.
1.1. 1.2.
Второго рода
8.1 по верхней стороне
части плоскости 2x + 3y + z = 6 лежащей в октанте
8.2 по положительной
стороне куба , составленного плоскостями x = 0 ,
y
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
6.1 Основная литература:
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2005.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по т
Семестр I
1.Матрицы. Линейные операции над матрицами, умножение матриц. Определители 2-го и 3-го порядков. Миноры и алгебраические дополнения. Определители n-го порядка. Вычисление определите
Семестр II
1. Понятие о первообразной функции. Теорема о множестве всех первообразных (с док-вом).
2. Неопределенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл неопределенного инте
Семестр III
1. Понятия о дифференциальных уравнениях, их классификация. Экономические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка. З
Семестр IV
1. Элементы комбинаторики.
2. Предмет теории вероятностей. Случайные события и их виды. Различные подходы к определению вероятности: классический, статистический геометриче
Новости и инфо для студентов