Реферат Курсовая Конспект
Метод начальных параметров - раздел Математика, КРАТКИЙ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ БАЛОК ПРИ ИЗГИБЕ. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Запишем Формулу (1.5) В Виде ...
|
Запишем формулу (1.5) в виде
(1.9)
Если принять гипотезу, что EJ = const, то дифференциальное уравнение (1.9) даёт
Нагрузка q считается положительной, если совпадает с осью y, направленной вверх. При выводе уравнения метода начальных параметровбудем исходить из последней формулы
(1.10)
Первый участок.
Считаем, что на этом участке, , нагрузка постоянна, , рис.1.3.
Интегрируя уравнение (1.10) четыре раза, получаем
(а)
Произвольные постоянные интегрирования будем искать из граничных условий в начале координат, при x = 0. Т.е. в начале координат прогиб равен , угол поворота , изгибающий момент, поперечная сила .
Подстановка граничных условий даёт
(1.11)
Их дальнейшая подстановка в (а) приводит последние к виду (формулы (б), слева)
Первый участок | Второй участок | |
(б) |
Рис.1.4
Эпюра Q от P0 и P1 | |
Эпюра M от M0 и M1 | |
Скачок в угле поворота | |
Скачок в прогибе |
Рис.1.5
Как видно из рис.1.4, интегрирование нагрузки q на втором участке представляет собой перекрещенную нижнюю площадь, равную , что написано слева в формулах (б), и перекрещенную верхнюю площадь, равную , что написано справа в формулах (б), где ещё добавлена произвольная постоянная в дополнение к , написанной слева. Дальнейшее интегрирование добавляет степень переменной и дополнительные постоянные интегрирования: .Рассмотрим их физический смысл.
Произвольная постоянная представляет собой скачок в эпюре Q, вызванный внешней силой P1. Соответственно - скачок в эпюре моментов, вызванный внешним моментом M1. Скачки и показаны на чертеже, однако в рассматриваемых ниже балках они редко встречаются, поэтому их учитывать не будем.
Окончательная формула начальных параметров выглядит следующим образом
(1.11)
Здесь k – число промежуточных границ между началом и концом балки. Знак обозначает, что эти слагаемые следует принимать во внимание, если . Значок перед моментом Mi, поперечной силой Qi и распределённой нагрузкой qi обозначает скачок в опорах этих функций.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.
Рис.1.6 | Рис.1.7 |
Определить перемещения и угол поворота балки, рис.1.6 в точке B.
Сначала определяем реакции в опоре и . Показываем внутренние усилия Q0, M0, ΔQ с учётом принятого правила знаков (рисунок справа). Составляем граничные условия.
Подставляем их в уравнение (1.11)
(а)
Для определения прогиба в точке B подставляем сюда координату x=l.
Знак минус свидетельствует о том, что прогиб направлены в противоположную сторону оси y. Для определения угла поворота продифференцируем уравнение (а)
Подставляя координату точки B x=l, получим
Пример 2.
Определить прогиб балки в точке B и угол поворота в точке C, рис.1.8.
Рис.1.8 | Сначала определяем реакции. Учитывая симметрию получаем и составляем граничные условия |
Подставляем граничные условия в уравнение (1.11)
(б)
В этом уравнении остаётся неизвестной величиной (см. (1.11)), которую пытались определить из граничных условий в начале координат, при . Не удалось. Определим её из граничного условия при , где прогиб с помощью уравнения (б).
;
;
Подставив полученный результат в (б), получим окончательное уравнение
(в)
для поставленных задач. Для вычисления прогиба в точке B подставляем её координату
; .
Знак минус свидетельствует о том, что направление прогиба не совпадает с направлением оси y.
Для определения угла поворота необходимо продифференцировать уравнение (в)
Теперь подставляем в полученное уравнение координату точки C .
;
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
КРАТКИЙ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ... Часть...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод начальных параметров
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов