Исследование функций и построение графиков - раздел Математика, ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ
Признак Монотонности Функции
...
Признак монотонности функции
Одной из существенных характеристик функции является ее поведение на отдельных интервалах — возрастание или убывание. Это определяется приводимой ниже теоремой, доказательство которой мы опускаем.
ТЕОРЕМА 2. Если функция f (x) дифференцируема и f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0) на интервале (а, b), то она не убывает (не возрастает) на этом интервале.
При f'(x) > 0 (f'(x) < 0) имеем признак строгой монотонности, т.е. функция возрастает (убывает). Геометрическая интерпретация связи знака производной функции и характера ее изменения очевидна (рис. 5.1): если углы наклона касательных на каком-то интервале являются острыми, то функция на этом интервале возрастает: tg φ > 0; при тупом угле наклона касательной функция убывает и tg φ < 0.
Точки локального экстремума
Определение 1. Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если для любого х ≠ x0 в некоторой окрестности точки x0 выполнено неравенство f(x0) > f(х) (f(x0) < f(x)).
Локальный минимум и локальный максимум объединены общим названием локальный экстремум.
ТЕОРЕМА 3 (необходимое условие существования локального экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 и имеет в этой точке локальный экстремум, то f'(x0) = 0.
Геометрический смысл теоремы 5.3 указан на рис. 5.2: если в точках локальных экстремумов существуют касательные, то они параллельны оси Ох.
Точки, в которых касательные параллельны оси Оx, а значит, производная равна нулю, называют точками возможного экстремума, или стационарными точками. Если x0 — точка возможного экстремума, т.е. f'(x0) = 0, то она может ине быть точкой локального экстремума. Например, для функции f(x) = x3 (рис. 3.1) производная при х = 0 равна нулю, однако в этой точке нет локального экстремума. Таким образом, теорема 5.3 не является достаточным условием существования локального экстремума.
ТЕОРЕМА 4 (достаточное условие существования локального экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Если при переходе через точку x0 слева направо производная f'(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точке x0 функция f(x) имеет локальный максимум (минимум). Если же f'(x) не меняет знака в δ-окрестности точки x0, то данная функция не имеет локального экстремума в точке x0.
Рассмотрим применение доказанных теорем на примерах нахождения точек локальных экстремумов функций.
Пример 1. Найти точки локального экстремума и интервалы монотонности функции f(x) = х3 — 7,5x2 + 18x.
Решение. Сначала находим производную f'(x) = 3x2 — 15x + 18. Приравнивая ее к нулю и решая уравнение х2 — 5х + 6 = 0, находим две точки возможного экстремума: x1 = 2 и x2 = 3. Нетрудно видеть, что f'(x) при переходе через точку x1 =2 меняет знак с "+" на "-", т.е. в этой точке имеет место локальный максимум; аналогично устанавливается, что в точке x2 = 3 функция f'(х) имеет локальный минимум.
Найдем теперь интервалы монотонности данной функции (рис. 5.3). Поскольку f'(x) > 0 при х (-,2), то в силу теоремы 5.2 функция монотонно возрастает на этом интервале; (2, 3) является интервалом монотонного убывания f(x) (f'(x) < 0), а на интервале (3, +) функция монотонно возрастает (f'(x) > 0).
Пример 2. Найти размеры консервной банки, имеющей форму цилиндра (радиус r и высоту h) заданного объема V, при которых полная поверхность сосуда будет минимальной. Эта задача имеет производственный смысл: найти оптимальные размеры банки, при которых затраты материала на ее изготовление будут минимальны.
Решение. Исходя из формулы объема цилиндра V = πr2h, выразим h:
Как известно, полная поверхность цилиндра дается формулой
Подставляя сюда формулу для h, получаем S как функцию от r:
Минимум этой функции найдем из условия S' (r) = 0, откуда получаем уравнение 2r — V / π r2 = 0. Из этого уравнения находим оптимальное значение r; его подставляем в формулу для h и окончательно вычисляем оптимальные размеры банки:
Например, при V = 0,33 л оптимальные размеры банки составят: диаметр дна ≈ 7,5 см и высота ≈ 7,5 см.
Выпуклость и точки перегиба графика функции
Определение 2. Будем говорить, что график функции y = f(x) имеет на интервале (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а, b) (рис. 5.4).
Способ определения направления выпуклости графика функции дается теоремой, приведенной ниже без доказательства.
ТЕОРЕМА 5. Если функция у = f(х) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f"(x) ≥ 0 (f"(x) ≤ 0) на (а, b), то график функции имеет на (а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх).
Определение 3. Точка М(x0, f(x0)) называется точкой перегиба графика функции у = f(x), если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки x0, в пределах которой график функции f(x) имеет разные направления выпуклости.
В точке перегиба касательная пересекает график функции, поскольку он переходит с одной стороны касательной на другую, т.е. "перегибается" через нее (рис. 5.5).
ТЕОРЕМА 6. (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть график функции у = f(x) имеет перегиб в точке M(x0, f(x0)) и функция f(x) имеет в точке x0 непрерывную вторую производную. Тогда
Отметим, что не всегда условие f"(x0) = 0 означает наличие точки перегиба на графике функции у = f(x). Например, график функции у = x2n (п > 1) не имеет перегиба в точке (0, 0), хотя при х = 0 вторая производная равна нулю. Потому равенство (5.8) является только необходимым условием перегиба. Точки графика, для которых условие (5.8) выполнено, будем называть критическими. В каждой такой точке необходимо исследовать дополнительно вопрос о наличии перегиба; здесь имеется полная аналогия с существованием экстремума функции.
ТЕОРЕМА 7 (достаточное условие существования точки перегиба). Пусть в некоторой окрестности точки x0 вторая производная функции у = f(x) имеет разные знаки слева и справа от x0. Тогда график у = f(x) имеет перегиб в точке М(x0, f(x0)).
Теорема верна и для случая, когда f"(x) существует в некоторой окрестности точки x0 за исключением самой точки x0 и существует касательная к графику функции в точке М. Например, функция f(x) = x1/3 в точке х = 0 имеет бесконечные производные; в точке O(0, 0) касательная совпадает с осью Оу. Однако график этой функции имеет перегиб в начале координат, поскольку вторая производная f"(x) = -2 /(9x5/3) имеет разные знаки слева и справа от точки х = 0 (рис. 5.6). Рассмотрим примеры: найти точки перегиба и направления выпуклости графиков следующих функций.
Пример 3. f(x) = ехр (-x2).
Решение. Последовательно находим f'(x)= -2x exp(—x2), f"(x) = 2 exp (-x2)(2x2 — 1). Приравнивая вторую производную к нулю, получаем критические точки х = ±1/. Ввиду зависимости функции от х2 достаточно исследовать точку x = l/. Нетрудно видеть, что при переходе через эту точку слева направо f"(x) меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, на левой ветви функции точка M1(-1 / , e-1/2) является точкой перегиба графика функции со сменой выпуклости вниз слева на выпуклость вверх справа (рис. 5.7). На правой ветви в точке перегиба М2(1/, е-1/2) графика функции имеет место смена выпуклости вверх слева на выпуклость вниз справа.
Пример 4. f(x) = ln (х2 – 2x + 2).
РHешение. Вторая производная равна . Приравнивая ее к нулю, получаем критические точки x1 = 0, x2 = 2. Несложный анализ квадратного трехчлена х(2 — х), стоящего в числителе второй производной и определяющего ее знак, показывает, что точка перегиба M1 (0, ln 2) графика функции меняет выпуклость вверх слева на выпуклость вниз справа; в другой точке перегиба М2 (2, ln2) выпуклость графика функции вниз слева меняется на выпуклость вверх справа.
Асимптоты графика функции
Часто оказывается, что график функции неограниченно приближается к некоторой прямой. Такого рода прямые называются асимптотами. Неограниченность приближения графика функции к асимптоте означает, что расстояние от графика до этой прямой (перпендикуляр, опущенный из произвольной точки графика на прямую) стремится к нулю.
Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.
Определение 4. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции у = f(x), если хотя бы одно из предельных значений f(x) или f(x) равно +или -.
Вертикальные асимптоты обычно сопутствуют точкам разрыва второго рода. Например, график функции у = е1/x имеет вертикальную асимптоту х = 0, так как f(x) при х 0+.
Определение 5. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции у = f(x) при х ±, если f(x) можно представить в виде
где α(х) 0 при х ±.
Это определение относится как к наклонной, так и к горизонтальной асимптотам: в случае горизонтальной асимптоты угловой коэффициент k в (5.9) равен нулю.
Укажем способ нахождения коэффициентов k и b в уравнении наклонной асимптоты. Разделив обе части равенства (5.9) на x и перейдя к пределу при х , получим
т.е. k = . Затемиз равенства (5.9) находим:
Рассмотрим примеры: найти асимптоты графиков функций.
Пример 5. f(x) = .
Решение. Найдем вертикальную асимптоту. Точка x = -1 является точкой разрыва 2-го рода, причем
Затем находим наклонные асимптоты:
Таким образом, получаем уравнение наклонной асимптоты
Пример 6. f(x) = х + e-x.
Решение. Вертикальных асимптот здесь нет, поскольку точки разрыва 2-го рода отсутствуют. Отыщем наклонную асимптоту:
Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид
Схема исследования графика функции
Приведем схему исследования поведения функции и построения ее графика.
1. Найти область определения функции.
2. Определить возможный тип симметрии функции: четность или нечетность функции. Функция f(x) называется четной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно оси Оу:
Функция f(x) называется нечетной, если выполнено условие симметрии ее графика относительно начала координат O (0, 0):
При наличии симметрии достаточно построить график функции на правой координатной полуплоскости и затем отобразить его на левую половину: зеркально относительно оси Оу в случае (5.10) (рис. 5.8,а) или с центральной симметрией в случае (5.11) (рис. 5.8,6).
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат Ох и Оу, т.е. решить соответственно уравнения у = f(0) и f(x) = 0.
4. Найти асимптоты.
5. Найти точки возможного экстремума.
6. Найти критические точки.
7. Исследовать знаки первой и второй производных, определить участки монотонности функции, направление выпуклости графика, точки экстремума и перегиба.
8. Определить максимум и минимум функции на области ее определения. Если областью определения функции является отрезок [а, b], необходимо вычислить значения функции в его концах и сопоставить их с локальными экстремумами.
9. Построить график функции с учетом проведенного исследования.
Пример 7. Исследовать и построить график функции
Решение. Действуем по приведенной выше схеме.
1. Область определения функции: х ≠ 0 или х (-, 0) (0, ).
2. Функция (5.12) является нечетной, так как f(-x) = - f(x).
3. Уравнение f(x) = 0 дает корни х = ±1 (точки пересечения с осью Ох). Пересечения с осью Оу нет в силу п.1.
4. Имеется вертикальная асимптота — ось Оу, так как предел f(x) при х 0 бесконечен: f(x) +при х 0-, f(x) -при х 0+.
Определяем наклонную асимптоту:
Итак, уравнение наклонной асимптоты: у = х.
5. f'(x) = , т.е. производная нигде не равна нулю и точек возможного экстремума нет. В области определения везде f'(x) положительна.
6. f"(x) = —2/х3 — критических точек нет.
7. Функция (5.12) монотонно возрастает на всей области своего определения, так как ее производная всюду положительна. В левой координатной полуплоскости выпуклость графика функции направлена вниз (f"(x) > 0), в правой полуплоскости выпуклость направлена вверх (f"(x) < 0).
8. Наибольшего и наименьшего значений функции не существует, поскольку область ее значений неограничена.
9. График функции (5.12) приведен на рис. 5.9.
Все темы данного раздела:
В экономическом образовании
Главный редактор Ю.В. Луизо. Зав редакцией Г.Г Кобякова Редактор Н.А Леонтьева. Художник Н.Н. Сенько. Компьютерная подготовка оригинал-макета Д.С. Тел
А. Сложение и умножение вещественных чисел
Для любой пары вещественных чисел а и b определены единственным образом два вещественных числа а + b и а ∙ b, называемые соответственно их суммо
В. Сравнение вещественных чисел
Для любых двух вещественных чисел имеет место одно из трех соотношений: а = b (а равно b), а > b (а больше b) или а < b (а
Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней
Здесь нам понадобится понятие о соответствии множеств, позже мы еще раз обратимся к нему в разделе о функциональной зависимости. Будем говорить, что между множествами Х и
Грани числовых множеств
Будем говорить, что множество Х ограничено сверху (снизу), если существует число d, такое, что для любого х
Абсолютная величина числа
Приведем определение абсолютной величины вещественного числа х (модуля числа):
х, если х X
Применение в экономике
Рассмотрим два примера из экономики на использование числа е.
Пример 1. Известно, что формула сложных процентов имеет вид
УПРАЖНЕНИЯ
Найти пределы следующих последовательностей.
2.1. 2.2.
Понятие функции
Определение функциональной зависимости
Определение 1. Пусть Х и Y — некоторые числовые множества и пусть каждому элементу x
Предел функции
Предел функции в точке
Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X. Возьмем из Х последовательность точек
Теоремы о пределах функций
Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке а, приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.
ТЕОРЕМА 2. Пусть функции f(x) и g(х) им
Два замечательных предела
В этом разделе приводятся два предела функции, которые наиболее широко используются в математике и ее приложениях. Доказательства соответствующих теорем мы опускаем.
ТЕОРЕ
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке x = а, если предел ее в этой точке равен н
Понятие непрерывности функции
Понятие непрерывности функции является фундаментальным в математическом анализе. Сформулируем его на языке последовательности. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрес
Непрерывность элементарных функций
Непрерывность элементарных функций в точке
Постоянная функция f(x) = С является непрерывной в любой точке числовой прямой. Дейс
Понятие сложной функции
Определение. Если на некотором промежутке Х определена функция z = φ(x) с множеством значений Z и на множестве Z определена функция
Элементы аналитической геометрии на плоскости
Уравнение линии на плоскости
Пусть на плоскости задана система координат. Рассмотрим уравнение вида
УПРАЖНЕНИЯ
Найти области определения функций, заданных следующими формулами.
3.1. у = 3x - 2.3.2. у = х2 – 5x + 6.
Определение производной
Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке X. Придадим значению аргумента в точке x0
Понятие дифференциала функции
Определение и геометрический смысл дифференциала
Определение 1. Дифференциалом функции у = f(x) в точке x0 называется глав
Дифференцирование сложной функции
ТЕОРЕМА 3. Пусть функция х = φ(t) имеет производную в точке t0, а функция у = f(x) имеет производную в соответствующей точке x0 = φ(t0). Тогда слож
УПРАЖНЕНИЯ
Найти производные следующих функций.
4.1.у = x3 + 3x2 – 2x +1.4.2. у = 5x7 + 3
L. Раскрытие неопределенностей
Правило Лопиталя
Будем говорить, что отношение двух функций при x
Формула Маклорена
Разложение функций по формуле Маклорена
Одним из основных принципов математики является представление сложного через более простое. Формула Маклорена* как раз и
Применение в экономике
Предельные показатели в микроэкономике
Приведем примеры двух предельных показателей в микроэкономике.
1. Первый из них связан с зависимость
УПРАЖНЕНИЯ
Найти пределы с использованием правила Лопиталя.
5.1. .5.2.
Первообразная и неопределенный интеграл
Понятие первообразной функции
Предыдущие главы были посвящены одной из основных задач дифференциального исчисления — нахождению производной заданно
Неопределенный интеграл
Определение 2. Совокупность всех первообразных функций для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x
Метод подстановки
Замена переменной интегрирования является одним из самых эффективных приемов сведения неопределенного интеграла к табличному. Такой прием называется методом подстановки, и
Интегрирование по частям
ТЕОРЕМА 2. Пусть функции и(х) и v(x) определены и дифференцируемы на промежутке Х и функция и'(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда функция u(x)v'(x) также имеет
Рациональная функция от sin х и cos х
Рассмотрим интеграл вида
где R — рациональная функция. Этот интегр
Определение определенного интеграла
Пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b]. Разобьем отрезок [а, b] на п произвольных частей точками:
Основные свойства определенного интеграла
1. Интеграл был определен для случая, когда a < b. Обобщим понятие определенного интеграла и на другие случаи.
Основная формула интегрального исчисления
ТЕОРЕМА 4. Непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция
Замена переменной в определенном интеграле
ТЕОРЕМА 5. Пусть: 1) f(x) — непрерывная функция на отрезке [а, b]; 2) функция φ(t) дифференцируема на [α, β], причем φ'(t) непре
Интегрирование по частям в определенном интеграле
ТЕОРЕМА 6. Пусть функции и(х) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а, b]; тогда справедлива формула
Площадь плоской фигуры
Рассмотрим на плоскости Оху фигуру, ограниченную графиком непрерывной и положительной функции f(x) на отрезке [а, b], отрезком [а, b
Объем тела вращения
Рассмотрим тело, которое образуется при вращении вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [а, b] функци
Дневная выработка
Найти дневную выработку Р за рабочий день продолжительностью восемь часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле
Выпуск оборудования при постоянном темпе роста
Производство оборудования некоторого вида характеризуется темпом роста его выпуска
&nbs
Несобственные интегралы
При рассмотрении определенного интеграла как предела интегральных сумм предполагалось, что подынтегральная функция, во-первых, задана на конечном отрезке и, во-вторых, ограничена. Д
УПРАЖНЕНИЯ
Вычислить определенные интегралы.
Найти площади фигур, ограниченных след
Частные производные функции нескольких переменных
Частные производные первого порядка
Пусть функция двух переменных z = f(x, у) определена в некоторой окрестности точки М(x
Локальный экстремум функции нескольких переменных
Определение и необходимые условия существования локального экстремума
Пусть функция z = f(x, y) определена на множестве {М}, а М
Экстремум функции нескольких переменных
Рассмотрим типичную задачу нахождения экстремума функции нескольких переменных, возникающую в экономике.
Прибыль от производства разных видов товара
&nbs
УПРАЖНЕНИЯ
Найти области определения функций.
Построить линии уровня функций.
Базовые определения
Определение 1. Уравнение вида
где х — независимая переменная,
Геометрический смысл уравнения первого порядка
Рассмотрим уравнение у' = f(x,y). Пусть у = φ(x) — его решение, график которого представляет собой непрерывную интегральную кривую, причем в каждой
Неполные уравнения
Определение 6. Дифференциальное уравнение первого порядка (9.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.
Линейные уравнения первого порядка
Определение 7.Уравнение вида
где р(х) и q(x) — непрерывны
Уравнения, допускающие понижение порядка
Существуют три вида уравнения (10.2), которые при помощи замены переменной (искомой функции) сводятся к уравнениям первого порядка.
1. Уравнение вида
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение 2. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
Однородные уравнения второго порядка
Рассмотрим линейное однородное уравнение
где р и q — вещес
Неоднородные уравнения второго порядка
Что касается решения неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то их решение полностью основывается на следующей фундаментальной теореме.
УПРАЖНЕНИЯ
Найти общие решения линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.
Модель естественного роста выпуска
Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q(t) количество продукции, реализованной на момент времени t; тогда
Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами)
Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами. В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение
Векторное пространство
Понятие и основные свойства вектора
Приведем обобщение понятия вектора на n-мерный случай.
Определение 1. Любой упорядоченный наб
Скалярное произведение векторов
Определение 5. Скалярным произведением векторов (12.3) называется число, состоящее из суммы произведений соответствующих координат этих векторов:
Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной размерности. Такие совокупности называют системо
Базис и ранг системы векторов
Рассмотрим систему векторов
Максимально независимой подсистемой этой системы в
Представление вектора в произвольном базисе
Пусть система векторов
является базисом, а вектор
Разложение вектора в ортогональном базисе
Рассмотрим базис пространства Rn, в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса:
УПРАЖНЕНИЯ
12.1. Найти линейную комбинацию векторов 3+ 4-
Понятие матрицы
Определение 1. Прямоугольная таблица чисел вида
называется матрицей.
Транспонирование матриц
Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки). Пусть дана исходная матрица
Умножение матриц
1. Умножение матриц — это специфическая операция, составляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы матриц можно рассматривать как векторы-строки и векторы-столбцы соответствующих размерно
Собственные значения и собственные векторы матрицы
Будем рассматривать квадратные матрицы размером п х п, или, что то же самое, матрицы порядка п.
При умножении матрицы порядка п на n-мерн
Ранг матрицы
Выше уже говорилось, что матрицы размера т х п можно рассматривать как системы, состоящие из m n-мерных векторов (или из п m-мерных векторов). Поскольку
Понятие определителя
Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем, или детерминантом, n-го
Основные свойства определителей
Из данного выше общего определения следуют основные свойства определителей.
1. Если некоторая строка или столбец определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
Миноры и алгебраические дополнения
Рассмотрим определитель n-го порядка (14.3). Выделим в нем какой-либо элемент аij и вычеркнем i-ю строку и j-й столбец, на пересечении которы
Ранг матрицы и системы векторов
1. Пусть дана матрица, содержащая m строк и п столбцов:
Вы
УПРАЖНЕНИЯ
14.1. Вычислить определители:
14.2. Дана матрица
Общий вид и свойства системы уравнений
Система т линейных уравнений с п неизвестными (переменными) x1, x2, ..., xп имеет вид
Матричная форма системы уравнений
Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (15.1) в матрицу
Метод обратной матрицы и теорема Крамера
В этом разделе мы рассмотрим частный случай системы (15.1), когда число уравнений равно числу неизвестных, т.е. т = n. Система уравнений имеет вид
Решение системы общего вида
Пусть задана система линейных уравнений общего вида (15.1), где т ≤ n, т.е. число неизвестных не меньше числа уравнений. Представим общий порядок решения этой си
Метод Гаусса
Следует заметить, что как метод обратной матрицы, так и метод Крамера являются очень трудоемкими по количеству вычислительной работы. Оба они требуют порядка n2
Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
Метод Гаусса является поистине универсальным в решении систем линейных алгебраических уравнений. Мы продемонстрируем применение этого метода при вычислении обратных матриц.
Геометрическая интерпретация системы линейных уравнений
Как известно, уравнения с двумя переменными вида
описывают на координатн
Фундаментальная система решений
Решения однородной системы обладают следующими свойствами. Если вектор = (α1, α2,..
Характеристическое уравнение
В п. 13.1 было введено определение собственного значения и гобственного вектора матрицы. Пусть — собственный вектор
УПРАЖНЕНИЯ
Решить методом Крамера системы линейных уравнений.
Решить системы линейн
Матричные вычисления
Рассмотрим типичные задачи, использующие понятие вектора и его свойства.
1. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические п
Использование систем линейных уравнений
Рассмотрим задачи, приводящие к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений.
6. Прогноз выпуска продукции по запасам сырья. Предприятие выпускает три ви
Балансовые соотношения
Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой п отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения своего
Линейная модель многоотраслевой экономики
В. В. Леонтьевым на основании анализа экономики США и период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного времени величины aij =
Продуктивные модели Леонтьева
Матрица А, все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого вектора с неотрица
Линейная модель торговли
Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что
УПРАЖНЕНИЯ
16.1. По данным табл. 16.1 составить новую таблицу производственно-экономических показателей по следующим условиям:
— количество изделий всех видов увеличивается на 20%,
Некоторые формулы комбинаторики
Пусть задано конечное множество элементов некоторой природы. Из них можно составлять определенные комбинации, количества которых изучает комбинаторика. Некоторые ее формулы использ
Виды случайных событий
Выше было введено определение случайного события. Обычно в теории вероятностей вместо "совокупности условий" употребляют термин "испытание", и тогда событие трак
Несовместные события
Определение 1. Суммой двух событий А и В называют событие С = А + В, которое состоит в появлении либо события А, либо события В
Противоположные события
Определение 2. Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными.
Если событие обозначено через А, то противоположное
Произведение событий и условная вероятность
Определение 1. Произведением двух событий А и В называется событие АВ, означающее совместное появление этих событий (см. гл. 1.1, произведение множест
Независимые события
Определение 3. Событие В называется независимым от события А, если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности (появление события
Появление только одного из независимых событий
Рассмотрим примеры совместного применения теорем сложения и умножения. Пусть два независимых события А1 и А2 имеют вероятности появления
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Определение 1. События А и В называют совместными, если в одном и том же испытании появление одного из них не исключает появления другого.
Для таких событий
Формула полной вероятности
Пусть события В1, В2, …, Вп несовместны и образуют полную группу, т.е., согласно теореме 17.2, выполняется равенство
Формулы Байеса
Пусть события B1, B2, ..., Вп несовместны и образуют полную группу, а событие А может наступить при условии появ
Формула Бернулли
Определение 1. Если при проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются незави
Локальная теорема Лапласа
Использование формулы Бернулли (17.16) при больших значениях п и k представляется затруднительным ввиду увеличения объема вычислений и операций с большими числами. В
Интегральная теорема Лапласа
Опять предположим, что в каждом из произведенных п испытаний событие А появляется с одинаковой вероятностью р. В прикладных вопросах теории вероятностей наибол
Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности
Определение 2. Отношение числа испытаний в которых событие А появилось, к общему числу фактически проведенных испытаний, называют относительной частотой события
&n
УПРАЖНЕНИЯ
17.1. Найти число способов извлечения из 36 игральных карт двух тузов и двух королей.
17.2. Во взводе служат 32 солдата. Ежедневно для несения караула вы
Виды случайных величин
В главе 17 рассматривались события, состоящие в появлении того или иного числа. Например, среди трех изъятых деталей может оказаться до трех стандартных.
Определен
Дискретные случайные величины
Определение 4. Соответствие между отдельными возможными значениями и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.
Биномиальное распределение
Пусть производится п независимых испытаний и в каждом из них событие А может либо появиться, либо не появиться. Пусть также вероятность р появления события А
Распределение Пуассона
Пусть в каждом из п производимых испытаний вероятность появления события А равна р. Как мы знаем, для определения вероятности k появлений события А
Математическое ожидание дискретной случайной величины
Пусть случайная величина Х может принимать значения x1, x2, ... , xn c вероятностями соответственно p1
Свойства математического ожидания
Математическое ожидание обладает рядом свойств, которые указаны ниже.
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоян
Дисперсия дискретной случайной величины
Как уже говорилось выше, математическое ожидание является средней характеристикой случайной величины. Однако оно не характеризует случайную величину достаточно полно, и по этой при
Свойства дисперсии
Приведем здесь основные свойства дисперсии.
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:
Среднее квадратическое отклонение
Одной из основных оценок рассеяния возможных значений случайной величины служит среднее квадратическое отклонение.
Определение 4. Средним квадрати
Начальные и центральные моменты
Определение 5. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Хk:
Двумерная случайная величина
До сих пор мы рассматривали дискретные случайные величины, которые называют одномерными: их возможные значения определялись одним числом. Кроме одномерных величин рассматривают т
Корреляционный момент
Определение 2. Корреляционным моментом случайных величин Х и Y (или ковариацией) называется математическое ожидание произведений их отклонений:
Коэффициент корреляции
Из определения корреляционного момента следует, что его размерность равна произведению размерностей величин Х и Y; например, если Х и Y измерены в сантим
Линейная регрессия
Пусть (X, Y) — двумерная случайная величина, где Х и Y — зависимые случайные величины. Оказывается возможным приближенное представление величины Y в вид
Функция распределения и ее свойства
Пусть Х — непрерывная случайная величина (см. определение 3 п. 18.1), значения которой сплошь заполняют интервал (а, b). Теперь уже нельзя составить пер
Плотность распределения вероятностей и ее свойства
Определение 3. Производная от функции распределения непрерывной случайной величины Х называется плотностью распределения вероятностей X:
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Определения числовых характеристик дискретных случайных величин распространяются и на непрерывные величины. Разница состоит в том, что вместо сумм в формулах (18.5) и (18.10) берут
Равномерное распределение
Определение 1. Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале возможных значений случайной величины плотность распределения является постоянной.
Нормальное распределение
Определение 2. Общим нормальным распределением вероятностей непрерывной случайной величины Х называется распределение с плотностью
Асимметрия и эксцесс
В прикладных задачах, например в математической статистике, при теоретическом изучении эмпирических распределений, отличающихся от нормального распределения, возникает нео
Выборки
На практике сплошное исследование (каждого объекта из интересующей нас совокупности) проводят крайне редко. К тому же если эта совокупность содержит большое число объектов или исс
Способы отбора
Различают два способа отбора: без расчленения генеральной совокупности на части и с расчленением. К первому относятся простые случайные отборы (либо повторный, либо беспов
Статистическое распределение выборки
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема п, в которой значение x1 некоторого исследуемого признака Х наблюдалось п1
Эмпирическая функция распределения
Пусть nх — число наблюдений, при которых значение признака Х меньше х. При объеме выборки, равном п, относительная частота события Х <
Полигон и гистограмма
Каждую пару значений (xi, ni) из распределения выборки можно трактовать как точку на координатной плоскости. Точно так же можно рассматривать и
Статистические оценки параметров распределения
Значения количественного признака х1, х2, ..., хk в выборке можно рассматривать как независимые случайные величины. В та
Виды дисперсий
Часто значения количественного признака Х совокупности разбиваются на определенное число групп. Каждую группу можно рассматривать как самостоятельную выборку, и для каждой гр
Эмпирические моменты
Для вычисления сводных характеристик выборок используют эмпирические моменты, аналогичные соответствующим теоретическим моментам. Обычным эмпирическим моментом порядка s наз
Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения
Нормальное распределение является одним из самых распространенных в применениях математической статистики. Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального использ
УПРАЖНЕНИЯ
18.1. Из коробки с шестью деталями, среди которых четыре стандартные, наудачу взяты три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х — количества с
Часть 5. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Общая постановка задачи
Определение 1. Линейное программирование — наука о методах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наим
Постановка задачи
Наиболее простым и наглядным методом линейного программирования является графический метод. Он применяется для решения задач ЛП с двумя переменными, заданными в неканонической фор
Алгоритм решения задач
1. Находим область допустимых решений системы ограничений задачи.
2. Строим вектор .
3. Проводим линию уровня L0, которая перпенди
Экономический анализ задач с использованием графического метода
Проведем экономический анализ рассмотренной выше задачи по производству мороженого.
Математическая модель задачи имеет вид
УПРАЖНЕНИЯ
Решить задачи с использованием графического метода.
20.1. L() = 3x1 + х2 → max при ограничениях:
Алгоритм симплексного метода
1. Математическая модель задачи должна быть канонической. Если она неканоническая, то ее надо привести к каноническому виду.
2. Находим исходное опорное решение и проверяем
Анализ эффективности использования производственного потенциала предприятия
Предприятие располагает тремя производственными ресурсами (сырьем, оборудованием, электроэнергией) и может организовать производство продукции двумя различными способами. Расход р
Альтернативный оптимум
При решении задач линейного программирования симплексным методом критерием оптимальности является условие Δj ≥ 0 для задач на максимум и условие Δ
УПРАЖНЕНИЯ
Решить следующие задачи симплексным методом.
21.1. L() = x1 — 3x2 — 5x3 — х4
Виды двойственных задач и составление их математических моделей
Симметричные двойственные задачи
Дана исходная задача
&n
Основные теоремы двойственности
ТЕОРЕМА 1. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то другая также имеет оптимальное решение, причем для любых оптимальных решений и выполняется равенство
Решение двойственных задач
Решение симметричных задач
Рассмотрим решение задач с использованием теорем двойственности.
Экономический анализ задач с использованием теории двойственности
Рассмотрим задачу оптимального использования ресурсов, запишем ее математическую модель
Стратегическое планирование выпуска изделий с учетом имеющихся ресурсов
Фирма выпускает три вида изделий, располагая при этом сырьем 4 типов: А, Б, В, Г соответственно в количествах 18, 16, 8 и 6 т. Нормы затрат каждого типа сырья на единицу изделия пе
УПРАЖНЕНИЯ
Для следующих задач составить математические модели двойственных задач и по решению исходной найти оптимальное решение двойственной.
22.1. L(
Общая постановка задачи
Транспортная задача — одна из распространенных задач линейного программирования. Ее цель — разработка наиболее рациональных путей и способов транспортирования товаров, устранение чр
Нахождение исходного опорного решения
Условия задачи и ее исходное опорное решение будем записывать в распределительную таблицу. Клетки, в которые поместим грузы, называются занятыми, им соответствуют базисные перемен
Проверка найденного опорного решения на оптимальность
Найденное исходное опорное решение проверяется на оптимальность методом потенциалов по следующему критерию: если опорное решение транспортной задачи является оптимальным, то ему
Переход от одного опорного решения к другому
Наличие положительной оценки свободной клетки (Δij > 0) при проверке опорного решения на оптимальность свидетельствует о том, что полученное решение не оп
Экономический анализ транспортных задач
Проведем экономический анализ задачи на конкретном примере.
Пример 3. Три торговых склада могут поставлять некоторое изделие в количестве 9, 4 и 8 т. Вели
УПРАЖНЕНИЯ
Решить следующие транспортные задачи, заданные распределительной таблицей.
Общая формулировка задачи
Некоторые задачи линейного программирования требуют целочисленного решения. К ним относятся задачи по производству и распределению неделимой продукции (выпуск станков, телевизоров
Прогнозирование эффективного использования производственных площадей
Рассмотрим следующую задачу.
Для улучшения финансового положения фирма приняла решение об увеличении выпуска конкурентоспособной продукции, для чего принято решение об ус
Метод Гомори
Решим эту же задачу методом Гомори, ее математическая модель:
ограничени
УПРАЖНЕНИЯ
Найти целочисленное решение следующих задач.
24.1. L() = 16x1 + 9x
Постановка задачи
Общая задача линейного программирования имеет вид
при ограничениях:
Линейное программирование с параметром в целевой функции
Пусть коэффициент cj целевой функции изменяется в пределах (cj — c'j,cj + с''j), тогда для удобства реше
Определение диапазона оптимального решения выпуска продукции при изменении условий реализации
Рассмотрим следующую задачу.
Предприятие должно выпустить два вида продукции А и В, для изготовления которых используются три вида сырья. Нормы расхода сырья
Нахождение оптимальных путей транспортировки грузов при нестабильной загрузке дорог
Имеются три поставщика однородного товара с объемами поставок: а1 = 100 т, а2 = 200 т, a3 = 100 т и четыре потребителя с объем
УПРАЖНЕНИЯ
Решить следующие задачи параметрического программирования с параметром в целевой функции.
25.1. L(
Постановка задачи
Задача заключается в выборе такого распределения ресурсов по объектам, при котором минимизируется стоимость назначений. Предполагается, что каждый ресурс назначается ровно один раз
Алгоритм решения задачи
Задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи, в которой ai = bj = 1. Поэтому ее можно решать алгоритмами транспортной задач
Планирование загрузки оборудования с учетом максимальной производительности станков
Рассмотрим следующую задачу.
На предприятии пять станков различных видов, каждый из которых может выполнять пять различных операций по обработке деталей. Известна производ
Выбор инвестиционных проектов в условиях ограниченности финансовых ресурсов
При планировании вложений проект может быть принят к исполнению, если он имеет положительную чистую приведенную стоимость. Однако в действительности для предприятий существуют огра
УПРАЖНЕНИЯ
26.1. Фирма имеет три механизма A1, А2, А3, каждый из которых может быть использован на каждом из трех видов работ B
Формулировка задачи
В рассматриваемых выше задачах линейного программирования математические модели имели одну целевую функцию, для которой находилось максимальное или минимальное значение экономичес
Математическая модель нахождения компромиссного решения
Дана математическая модель экономической задачи, в которой две целевые функции и система ограничений линейны. Найдем компромиссное решение по двум показателям, один из которых треб
Определение оптимального выпуска продукции при многокритериальных экономических показателях
Фирма выпускает два вида изделий по цене 2 ден. ед. и 3 ден. ед. соответственно. По результатам маркетинговых исследований спрос на изделия второго вида не менее 1 тыс. ед. в год.
УПРАЖНЕНИЯ
Составить математическую модель нахождения компромиссного решения и найти его.
27.1. L1 = x1 + 2x2 &
Общая постановка задачи
Математическая модель задачи нелинейного программирования в общем виде формулируется следующим образом: найти вектор
Графический метод
Рассмотрим примеры решения задач нелинейного программирования с двумя переменными, причем их целевые функции и системы ограничений могут быть заданы в линейном и нелинейном виде.
Математическая модель задачи
Дробно-линейное программирование относится к нелинейному программированию, так как имеет целевую функцию, заданную в нелинейном виде.
Задача дробно-линейного программиров
Метод множителей Лагранжа
Постановка задачи
Дана задача нелинейного программирования
УПРАЖНЕНИЯ
Используя графический метод, найти глобальные экстремумы функций.
28.1. L =x1 + 2x2 при ограничениях:
Постановка задачи
Динамическое программирование — один из разделов оптимального программирования, в котором процесс принятия решения и управления может быть разбит на отдельные этапы (шаги).
Некоторые экономические задачи, решаемые методами динамического программирования
Оптимальная стратегия замены оборудования
Одной из важных экономических проблем является определение оптимальной стратегии в замене старых станков,
УПРАЖНЕНИЯ
29.1. К началу рассматриваемого периода на предприятии установлено новое оборудование. Зависимость производительности этого оборудования от времени его работы, а также затраты на
Минимизация сети
Задача минимизации сети состоит в нахождении ребер, соединяющих все узлы сети и имеющих минимальную суммарную длину (рис. 30.17).
УПРАЖНЕНИЯ
30.1. Составить сетевой график выполнения работ и рассчитать временные параметры по данным, представленным в табл. 30.5.
Применение матричных игр в маркетинговых исследованиях
Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продажи товаров на предстоящей ярмарке с учетом меняющейся конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных
Сведение матричной игры к модели линейного программирования
В рассмотренной выше задаче игра задавалась платежной матрицей, которую сводили к модели линейного программирования. И, наоборот, задача линейного программирования может быть свед
Определение производственной программы предприятия в условиях риска и неопределенности с использованием матричных игр
Фирма "Фармацевт" — производитель медикаментов и биомедицинских изделий в регионе. Известно, что пик спроса на некоторые лекарственные препараты приходится на летний пер
УПРАЖНЕНИЯ
Найти оптимальные стратегии и цену игры.
Построить игру, заданную задачей линейного прог
Формулировка задачи и характеристики СМО
Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: очередь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вышедших из с
СМО с отказами
Основные понятия
Заявка, поступившая в систему с отказами и нашедшая все каналы занятыми, получает отказ и покидает систему необслуженной. Показателем качества о
СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
Основные понятия
Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограниченной длиной очереди и нашедшая все каналы и ограниченную очередь занятыми, поки
Определение эффективности использования трудовых и производственных ресурсов в системах массового обслуживания
Рассмотрим задачу с использованием СМО с отказами.
Пример 1. В ОТК цеха работают три контролера. Если деталь поступает в ОТК, когда все контролеры заняты
УПРАЖНЕНИЯ
Решить следующие задачи в предположении, что поток поступающих заявок является простейшим и длительность обслуживания одной заявки распределена по показательному закону.
Общая постановка задачи
Предприятия, фирмы имеют различные запасы: сырье, комплектующие изделия, готовую продукцию, предназначенную для продажи, и т.д. Совокупность подобных материалов, представляющих вре
Основная модель управления запасами
Введем обозначения необходимых для составления модели величин. Данные поместим в табл. 33.1.
График изменения запасов представлен на рис. 33.2.
Модель производственных запасов
В основной модели предполагали, что поступление товаров на склад происходит мгновенно, например в течение одного дня. Рассмотрим случай, когда готовые товары поступают на склад непо
Модель запасов, включающая штрафы
Рассмотрим основную модель, допускающую возможность существования периодов дефицита, который покрывается при последующих поставках, и штрафов за несвоевременную поставку.
Решение экономических задач с использованием моделей управления запасами
Решим задачу с применением основной модели управления запасами.
Пример 1. Интенсивность равномерного спроса составляет 2000 телевизоров в год. Организацион
УПРАЖНЕНИЯ
33.1. В течение 10 дней наблюдалось следующее изменение запасов:
— первоначальный запас равен нулю, в следующие двое суток товары поступали на склад непрерывно и равномер
Вычислить
где ,
Задачи на случайные события
1.1. Два нумизмата обмениваются коллекционными монетами. Найти число способов обмена, если первый нумизмат обменивает 5 монет, а второй — 8 монет.
1.2. В
Задачи на случайные величины
2.1. Из ящика с семью деталями, среди которых имеется 5 стандартных, наудачу взяты четыре детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х числа станда
Новости и инфо для студентов