Элементы комбинаторики - раздел Математика, Возникновение математики случайного относится к середине 18 века и связано с попыткой создания теории азартных игр, особенно в кости Согласно Классическому Определению Подсчет Вероятности События А Свод...
Согласно классическому определению подсчет вероятности события А сводится к подсчету числа благоприятствующих ему исходов. Делают это обычно комбинаторными методами.
Комбинаторика— раздел математики, в котором изучаются задачи выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы по заданным правилам, в частности задачи о подсчете числа комбинаций (выборок), получаемых из элементов заданного конечного множества. В каждой из них требуется подсчитать число возможных вариантов осуществления некоторого действия, ответить на вопрос «сколькими способами?».
Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью следующих двух важных правил, называемых соответственно правилами умножения и сложения.
Правило умножения(основной принцип): если из некоторого конечного множества первый объект (элемент х) можно выбрать п1 способами и после каждого такого выбора второй объект (элемент у) можно выбрать n2 способами, то оба объекта (х и у) в указанном поряке можно выбрать п1 • n2 способами.
Этот принцип, очевидно, распространяется на случай трех и больше объектов.
Пример 1.7. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 4, 5, если: а) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться
Имеется 5 различных способов выбора цифры для первого места (слева в трехзначном числе). После того как первое место занято, например, цифрой 2, осталось четыре цифры для заполнения второго места. Для заполнения третьего места остается выбор из трех цифр. Следовательно, согласно правилу умножения имеется 5 • 4 • 3 = 60 способов расстановки цифр, т. е. искомое число трехзначных чисел есть 60. (Вот некоторые из этих чисел: 243, 541, 514, 132, ...) Понятно, если цифры могут повторяться, то трехзначных чисел 5 • 5 • 5 = (Вот некоторые из них: 255, 333, 414, 111, ...)
Правило суммы. Если некоторый объект х можно выбрать n1 способами, а объект у можно выбрать n2способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов (х или у), можно выбрать п1 + n2 способами.
Это правило распространяется на любое конечное число объектов.
Пример 1.8. В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?
По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 • 13 = 182 способами, а двух юношей — 6 • 5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студенток или двух юношей. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет 182+ 30 = 212. •
Решение вероятностных (и не только их) задач часто облегчается, если использовать комбинаторные формулы. Каждая из них определяет число всевозможных исходов в некотором опыте (эксперименте), состоящем в выборе наудачу т элементов из п различных элементов рассматриваемого множества.
Существуют две схемы выбора mэлементов (0 < т £ п) из исходного множества: без возвращения(без повторений) и с возвращением(с повторением). В первом случае выбранные элементы не возвращаются обратно; можно отобрать сразу все т элементов или последовательно отбирать их по одному. Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге.
Теория вероятности как и другие науки возникла из потребностей практики Ее элементы были знакомы еще первобытным людям шансы убить зверя у двух... Возникновение математики случайного относится к середине века и связано с... Пример одной из ситуаций два игрока договорились играть в кости до тех пор пока одному не удастся выиграть три...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Элементы комбинаторики
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Предмет теории вероятности
Любая наука изучает не сами явления, протекающие в природе, в обществе, а их математические модели, т.е. описание явлений при помощи набора строго определенных символов и операций над ними.
Действия над событиями
Введем основные операции над событиями; они полностью соответствуют основным операциям над множествами.
Суммой событий А и В называется событие С = А +
Статистическое определение вероятности
Для математического изучения случайного события необходимо ввести какую-либо количественную оценку события. Понятно, что одни события имеют больше шансов («более вероятны») наступить, чем другие.
Аксиоматическое определение вероятности
Аксиоматическое построение теории вероятностей создано в начале 30-х годов академиком А. Н. Колмогоровым. Аксиомы теории вероятностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала осн
Свойства вероятностей
Приведем ряд свойств вероятности, являющихся следствием аксиом Колмогорова.
С1. Вероятность невозможного события равна нулю, т.е.
Р(Æ) =0.
Конечное вероятностное пространство
Пусть производится некоторый опыт (эксперимент), который имеет конечное число возможных исходов w1, w2, w3,.., wn. В этом случае Ώ = {
Условные вероятности
Пусть А и В — два события, рассматриваемые в данном опыте. Наступление одного события (скажем, А) может влиять на возможность наступления другого (В). Для характеристики зависимости одн
Независимость событий
Из определения условной вероятности (п. 1.14) следует, что
Р(А×В) = Р(А)×Р(ВçА)=Р(В)-Р(АçВ), (1.22)
т. е. вероятность произведения
Вероятность суммы событий
Как известно (п. 1.11), вероятность суммы двух несовместных событии определяется аксиомой A3: ({А + В) = Р(А) + Р(В), А×В = Æ Выведем формулу суммы вероятностей двух совместных с
Формула полной вероятности
Одним из следствий совместного применения теорем сложения умножения вероятностей являются формулы полнойвероятности и Байеса. Напомним, что события А1, А2, …
Формула Байеса (теорема гипотез)
Следствием формулы (1.30) является формула Байеса или теорема гипотез. Она позволяет переоценить вероятности гипотез Hi, принятых до опыта и называе
Формула Бернулли
Простейшая задача, относящаяся к схеме Бернулли, состоит в
определении вероятности того, что в п независимых испытаниях событие А наступит т раз (0 £т £ n
Математическое ожидание случайной величины
Математическим ожиданием (или средним значением) д. с. в. X,
— имеющей закон распределения рi = Р{Х = xi}, i= 1,2, 3,... , n, называется число, равное сумме произвед
Дисперсия
Дисперсией (рассеянием) с. в. X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания.
Обозначается дисперсия через DX (или
Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия DX имеет размерность квадрата св. X, что в сравнительных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса (рассеяния) имела размерность с.в., используют еще одну числовую характер
Предмет математической статистики
Математическая статистика — раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления
Генеральная и выборочная совокупности
Пусть требуется изучить данную совокупность объектов относительно некоторого признака. Например, рассматривая работу диспетчера (продавца, парикмахера,...), можно исследовать: его загружен
Статистическое распределение выборки.
Эмпирическая функция распределения/
Пусть изучается некоторая св. X. С этой целью над с. в. X производится ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов ве
Графическое изображение статистического распределения
Статистическое распределение изображается графически (для наглядности) в виде так называемых полигона и гистограммы. Полигон, как правило, служит для изображения дискретного (т. е. варианты отлич
Числовые характеристики статистического распределения
Для выборки можно определить ряд числовых характеристик, аналогичным тем, что в теории вероятностей определялись для случайных величин (см. п. 2.5).
Пусть статистическое распределение выб
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов