Sp-2 mod M(p) ≡ 0, т.е. остаток равен 0. - Лекция, раздел Математика, Материалы лекций Математические основы криптологии
Поясним, Каким Образом Задается Ряд Sk. Члены Последов...
Поясним, каким образом задается ряд Sk. Члены последовательности
(натуральные числа) можно записать в виде сумм степеней некоторых
иррациональных чисел. Пусть
w=2 +
3 и v
=2 -
3 . Докажем индукцией
по n, что
w2n
+v 2n
=Sn .
Очевидно,
w + v
=S 0 . Предположим, что
w2n -1
+v2n -1
=S n-1 .
Возводя в квадрат обе части равенства, получаем
w2n
+ 2(wv )
2n -1
+ v 2n
= S 2
n-1 . Поскольку wv
=1, то следует соотношение
n
n
w 2 + v 2
=S 2 n -1 -2 , что, по определению, дает S .
n
Описание алгоритма.
1. Ввод p. Если p < 3, то выход (не удовлетворяет условиям алгоритма).
2. Вычисление M(p) = 2p - 1 (программная реализация операции
возведения в степень рассмотрена в приложении 1).
3. Установить S = 4.
4. Для
"i =1, p -2
вычислить S = (S2 mod M(p)) - 2 (под операцией mod
подразумевается взятие остатка от деления левого параметра правым).
5. Если S mod (M(p)-1) º 0, то M(p) является простым, иначе составным. Выход.
Пример 1.8. Необходимо проверить на простоту число M(p) = 2p - 1, где
p = 11 - простое.
Число Мерсенна равно M(p) = 2p -1 = 211 -1 = 2047. Переменная цикла i
(из пункта 4) будет принимать значения
i =1, 9 . Представим шаги работы
алгоритма на основе трассировочной табл. 1.8.
Таблица 1.8. Трассировочная таблица
Шаг, i
Условие:
i£p-2
S2 mod M
(S2 mod M) - 2
Условие:
S mod Mº0?
до цикла
-
-
-
Да: 1£11-2
нет
Да: 2£11-2
нет
Да: 3£11-2
нет
Да: 4£11-2
нет
Да: 5£11-2
нет
Да: 6£11-2
нет
Да: 7£11-2
нет
Да: 8£11-2
нет
Да: 9£11-2
нет
Нет: 10>11-2:
Выход
-
Нет→
составное
В результате получаем, что число M(p) = 211 − 1 = 2047 является составным.
Пример 1.9. Необходимо проверить на простоту число M(p) = 2 p - 1, где
p = 13.
Число Мерсенна равно M(p) = 2 p - 1 = 213 - 1 = 8191. Переменная цикла
i (из пункта 4) будет принимать значения
i =1, 11 . Представим шаги работы
алгоритма на основе трассировочной табл. 1.9:
Таблица 1.9. Трассировочная таблица
Шаг, i
Условие:
i£p-2
S2 mod M
(S2 mod M) - 2
Условие:
S mod Mº0?
до цикла
-
-
-
да: 1£13-2
нет
да: 2£13-2
нет
да: 3£13-2
нет
да: 4£13-2
нет
да: 5£13-2
нет
да: 6£13-2
нет
да: 7£13-2
нет
да: 8£13-2
нет
да: 9£13-2
нет
да: 10£13-2
нет
да: 11£13-2
да
нет: 12>13-2:
Выход
-
да→простое
В результате получаем, что число M(p) = 213 − 1 = 8191 является простым.
Вопросы для самопроверки.
1. Что такое число Мерсенна?
2. Если p является составным или простым, то что можно сказать о числе M(p)?
3. Почему, если p является составным, то M(p) - составное?
4. Поясните суть теста Люка-Лемера.
5. Какие ограничения накладываются на входные значения теста Люка-Лемера, в том числе с учетом программной реализации на ЭВМ?
6. Сколько итераций может выполняться тест?
7. При каком условии пронимается решение о простоте числа M(p)?
8. Какая ошибка может случиться при проверке большого числа на простоту?
9. Для какого максимального числа p можно проверить простоту M(p) с помощью арифметики, встроенной в ЭВМ?
10. Какие математические операции используются в тесте Люка-Лемера?
В М Захаров... Материалы лекций... Математические основы криптологии...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Sp-2 mod M(p) ≡ 0, т.е. остаток равен 0.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Алгоритм передачи секретного ключа по открытому каналу
В середине 70-х годов произошел настоящий прорыв в современной
криптографии – появление асимметричных криптосистем, которые не требовали передачи секретного ключа между сторонами. Здесь от
Алгоритм Евклида
Алгоритм Евклида дает правило вычисления наибольшего общего делителя
(НОД) 2-х натуральных чисел. (a,b)= d , где d – НОД НОК – наименьшее общее кратное
Получение простых чисел.
По мере того как мы будем изучать курс «Математические основы криптологии» мы будем возвращаться к этой теме.
Задача получение простых чисел во многом зависит от того как с
Проверка простоты чисел Мерсенна
Числами Мерсенна называются числа вида М(p) = 2p - 1, pÎN.
Задача для чисел Мерсенна - поиск в ряду э
Алгоритм Бухштаба
Данный алгоритм приведен из книги Бухштаба А.А. "Теория чисел" [4]. Пусть задано натуральное нечетное число n, n ≥ 9, которое необходимо разложить на 2
Алгоритм Ферма
Алгоритм Ферма похож на алгоритм Бухштаба и является эффективным, если у раскладываемого числа n есть делитель (который
Функция Эйлера
Имеется целое, положительное число m. Оно может быть как составным, так и простым.
Функцию Эйлера принято обозначать, практически во всех учебниках как:
Мультипликативная функция
Имеем два натуральных числа a и b, если они взаимно просты, то мультипликативная функция устанавливает число взаимно простых чисел, для произведение двух взаимно простых чисел по фо
Числовая функция
Это функция устанавливающая целую часть от некоторого рационального числа
[a] – обозначение
может быть как положительное, так и отрицательное число
Сравнимость по модулю. Модулярная арифметика
Понятие «модулярная арифметика» ввел немецкий ученый Гаусс.
Модульная арифметика аналогична обычной арифметике: она коммутативна, ассоциатив
Свойства операций сравнения
В криптографии существуют шифры и по простому модулю и по составному модулю.
Нужно знать когда применять простой модуль, а когда состав
Кольца и поля
Алгебраические структуры с двумя бинарными операциями - сложение и умножение.
Определение 1.7. Множество S называется кольцом, е
Характеристика поля
Определение 1.12. Если в поле Fq все ненулевые элементы имеют аддитивный порядок k, то говорят, что поле Fq имеет характеристику k. Обозначение. р - простое число.
Вычисление обратных элементов
В арифметике действительных чисел просто вычислить обратную величину a−1 для ненулевого a:
a-1 = 1/a или a? a-1 = 1.
Расширение полей
Рассмотрим, какова связь полей GF(p) и GF( p n ).
Пусть F - поле. Подмножество К поля Р, которое само является полем относительно операций поля Р, на
Pound; b£ n-1
Если для каждого простого делителя p числа n-1 справедливы следующие утверждения:
(1) bn-1≡ 1(mod n),
Числа Кармайкла
Может ли составное нечетное число n быть псевдопростым по всем взаимно-простым с ним основаниям b? Забегая вперед, скачем, что «да».
Заметим
Процедура получения устойчивых простых чисел
1. Генерируются простые числа s,t
2. Получаем простое число r такое что, (r-1) делит t без остатка: r-1|t
На основе этих двух операций получаем про
Алгоритм асимметричного шифрования RSA
Алгоритм RSA предложили в 1978 г. 3 автора: Райвест (Rivest), Шамир (Shamir) и Адлеман (Adleman). RSA является алгоритмом с открытым ключом, работающим в режимах шифрования данных и
Раунд преобразования алгоритма RIJNDAEL
RIJNDAEL выполняет серию однотипных раундов преобразования шифруемого блока. Шифруемый блок и его промежуточные состояния в ходе преобразования представляются в виде квадратной матр
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов