Развитие методов механики в XVIII в

Развитие методов механики в XVIII в. В XVIII в. потребности производства - необходимость изучения важнейших механизмов, с одной стороны, и проблема движения Земли и Луны, выдвинутая развитием небесной механики, с другой привели к созданию общих приемов решения задач механики материальной точки, системы точек твердого тела, развитых в Аналитической механике 1788 г. Ж. Лагранжа 1736 - 1813 . В развитии динамики посленьютоновского периода основная заслуга принадлежит петербургскому академику Л. Эйлеру 1707 - 1783 . Он развил динамику материальной точки в направлении применения методов анализа бесконечно малых к решению уравнений движения точки.

Трактат Эйлера Механика, т. е. наука о движении, изложенная аналитическим методом, вышедший в свет в Петербурге в 1736 г содержит общие единообразные методы аналитического решения задач динамики точки. Л. Эйлер - основоположник механики твердого тела. Ему принадлежит общепринятый метод кинематического описания движения твердого тела при помощи трех эйлеровых углов.

Фундаментальную роль в дальнейшем развитии динамики и многих ее технических приложений сыграли установленные Эйлером основные дифференциальные уравнения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижного центра. Эйлер установил два интеграла интеграл момента количеств движения A22x B22y C22z m и интеграл живых сил интеграл энергии A2x B2y C2z h, где m и h - произвольные постоянные, A,B и C - главные моменты инерции тела для неподвижной точки, а x, y, z - проекции угловой скорости тела на главные оси инерции тела. Эти уравнения явились аналитическим выражением открытой им теоремы моментов количества движения, которая представляет собой необходимое дополнение к закону количестве движения, сформулированному в общем виде в Началах Ньютона.

В Механике Эйлера дана близкая к современной формулировка закона живых сил для случая прямолинейного движения и отмечено наличие таких движений материальной точки, при которых изменение живой силы при переходе точки из одного положения в другое не зависит от формы траектории.

Этим было положено начало понятия потенциальной энергии. Эйлер - основоположник гидромеханики. Им были даны основные уравнения динамики идеальной жидкости ему принадлежит заслуга создания основ теории корабля и теории устойчивости упругих стержней Эйлер заложил основу теории расчета турбин, выведя турбинное уравнение в прикладной механике имя Эйлера связано с вопросами кинематики фигурных колес, расчета трения между канатом и шкивом и многими другими.

Небесная механика была в значительной своей части развита французским ученым П. Лапласом 1749 - 1827 , который в обширном труде Трактат о небесной механике объединил результаты исследования своих предшественников - от Ньютона до Лагранжа - собственными исследованиями устойчивости солнечной системы, решением задачи трех тел, движения Луны и многих других вопросов небесной механики см. Приложение. Одним из важнейших приложений ньютоновской теории тяготения явился вопрос о фигурах равновесия вращающихся жидких масс, частицы которых тяготеют друг к другу, в частности о фигуре Земли. Основы теории равновесия вращающихся масс были изложены Ньютоном в третьей книге Начал. Проблема фигур равновесия и устойчивости вращающейся жидкой массы сыграла значительную роль в развитии механики.

Великий русский ученый М. В. Ломоносов 1711 - 1765 высоко оценивал значение механики для естествознания, физики и философии.

Ему принадлежит материалистическая трактовка процессов взаимодействия двух тел когда одно тело ускоряет движение другого и сообщает ему часть своего движения, то только так, что само теряет такую же часть движения. Он является одним из основоположников кинетической теории теплоты и газов, автором закона сохранения энергии и движения. Приведем слова Ломоносова из письма Эйлеру 1748 г. Все изменения, случающиеся в природе, проходят так, что если что-либо прибавится к чему-либо, то столько же отнимется от чего-то другого.

Так, сколько к какому-нибудь телу присоединится материи, столько же отнимется от другого сколько часов я употребляю в сон, столько же отнимаю от бдения и т. д. Так как этот закон природы всеобщ, то он простирается даже и в правила движения, и тело, побуждающее своим толчком другое к движению столько же теряет своего движения, сколько сообщает другому, движимому им. Ломоносов впервые предсказал существование абсолютного нуля температуры, высказал мысль о связи электрических и световых явлений.

В результате деятельности Ломоносова и Эйлера появились первые труды русских ученых, творчески овладевших методами механики и способствовавших ее дальнейшему развитию. История создания динамики несвободной системы связана с развитием принципа возможных перемещений, выражающим общие условия равновесия системы. Этот принцип был впервые применен голландским ученым С. Стевином 1548 - 1620 при рассмотрении равновесия блока. Галилей сформулировал принцип в виде золотого правила механики, согласно которому что выигрывается в силе, то теряется в скорости. Современная формулировка принципа была дана в конце XVIII в. на основе абстракции идеальных связей, отражающих представление об идеальной машине, лишенной внутренних потерь на вредные сопротивления в передаточном механизме.

Выглядит она следующим образом если в положении изолированного равновесия консервативной системы Консервативная система - механическая система, к которой применим закон сохранения механической энергии T U const, где T - кинетическая энергия, а U - потенциальная энергия. со стационарными связями потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

Созданию принципов динамики несвободной системы способствовала задача о движении несвободной материальной точки. Материальная точка называется несвободной, если она не может занимать произвольного положения в пространстве.

В этом случае принцип ДАламбера звучит следующим образом действующие на движущуюся материальную точку активные силы и реакции связей можно в любой момент времени уравновесить добавлением к ним силы инерции Сила инерции равна произведению массы точки на ее ускорение Выдающийся вклад в развитие аналитической динамики несвободной системы внес Лагранж, который в фундаментальном двухтомном сочинении Аналитическая механика указал аналитическое выражение принципа ДАламбера - общую формулу динамики. Как же Лагранж получил ее? После того, как Лагранж изложил различные принципы статики, он переходит к установлению общей формулы статики для равновесия любой системы сил. Начиная с двух сил, Лагранж устанавливает методом индукции следующую общую формулу для равновесия любой системы сил P dp Q dq R dr 0. 2.1 Это уравнение представляет математическую запись принципа возможных перемещений.

В современных обозначениях этот принцип имеет вид nj 1 Fj rj 0 2.2 Уравнения 2.1 и 2.2 практически одинаковы.

Основное отличие состоит, конечно, не в форме записи, а в определении вариации в наши дни - это произвольно мыслимое перемещение точки приложения силы, совместимое со связями, а у Лагранжа - это малое перемещение вдоль линии действия силы и в сторону ее действия. Лагранж вводит в рассмотрение функцию П теперь она называется потенциальной энергией, определив ее равенством dП P dp Q dq R dr , 2.3 в декартовых координатах функция П после интегрирования имеет вид П А Вx Сy Dz Fx2 Gxy Hy2 Kxz Lyz Mz2 2.4 Для дальнейшего доказательства Лагранж изобретает знаменитый метод неопределенных множителей.

Сущность его состоит в следующем. Рассмотрим равновесие n материальных точек, на каждую из которых действует сила Fj. Между координатами точек имеется m связей r 0, зависящих только от их координат. Учитывая, что dr 0, уравнение 2.2 сразу можно привести к следующей современной форме nj 1 Fj rj mr 1 r r 0, 2.5 где r - неопределенные множители. Отсюда получаются следующие уравнения равновесия, называемые уравнениями Лагранжа I рода Xj mr 1 r r xj 0, Yj mr 1 r r yj 0, Zj mr 1 r r zj 0 2.6 К этим уравнениям нужно присоединить m уравнений связей r 0 Xj, Yj, Zj - проекции силы Fj. Покажем, как Лагранж использует этот метод для вывода уравнений равновесия абсолютно гибкой и нерастяжимой нити. Прежде всего, отнесенную к единице длины нити ее размерность равна F L . Уравнение связи для нерастяжимой нити имеет вид ds const, и, следовательно, ds 0. В уравнении 2.5 суммы переходят в интегралы по длине нити l l0 Frds l0 ds 0. 2.7 Учитывая равенство ds 2 dx 2 dy 2 dz 2, найдем ds dx ds dx dy ds dy dz ds dz. Отсюда l0 ds l0 dx ds dx dy ds dy dz ds dz или, переставляя операции и d и интегрируя по частям, l0 ds dx ds x dy ds y dz ds z l0 d dx ds x d dy ds y d dz ds z. Считая, что нить на концах закреплена, получим x y z 0 при s 0 и s l, и, следовательно, первое слагаемое обращается в нуль. Оставшуюся часть внесем в уравнение 2.7 , раскроем скалярное произведение F dr и сгруппируем члены l0 Xds - d dx ds x Yds - d dy ds y Zds - d dz ds z 0. Так как вариации x, y и z произвольны и независимы, то все квадратные скобки должны равняться нулю, что дает три уравнения равновесия абсолютно гибкой нерастяжимой нити d ds dx ds - X 0, d ds dy ds - Y 0, d ds dz ds - Z 0. 2.8 Лагранж так объясняет физический смысл множителя Так как величина ds может представлять собой момент некоторой силы в современной терминологии - виртуальная возможная работа стремящейся уменьшить длину элемента ds, то член ds общего уравнения равновесия нити выразит сумму моментов всех сил, которые мы можем себе представить действующими на все элементы нити. В самом деле, благодаря своей нерастяжимости каждый элемент противостоит действию внешних сил, и это сопротивление обычно рассматривают как активную сила, которую называют натяжением.

Таким образом, представляет собою натяжение нити. Переходя к динамике, Лагранж, принимая тела за точки массой m, пишет, что величины m d2x dt2, m d2y dt2, m d2z dt2 2.9 выражают силы, примененные непосредственно для того, чтобы двигать тело m параллельно осям x, y, z. Заданные ускоряющие силы P, Q, R по Лагранжу, действуют вдоль линий p, q, r пропорциональны массам, направлены к соответствующим центрам и стремятся уменьшить расстояния до этих центров.

Поэтому вариации линий действия будут -p, -q, -r а виртуальная работа приложенных сил и сил 2.9 будут соответственно равны m d2x dt2 x d2y dt2 y d2z dt2 z P p Q q R r . 2.10 Приравнивая эти выражения и перенося все члены в одну сторону, Лагранж получает уравнение m d2x dt2 x d2y dt2 y d2z dt2 z P p Q q R r 0, 2.11 которое он назвал общей формулой динамики для движения любой системы тел. Именно эту формулу Лагранж положил в основу всех дальнейших выводов - как общих теорем динамики, так и теорем небесной механики и динамики жидкостей и газов.

После вывода уравнения 2.11 Лагранж разлагает силы P, Q, R, по осям прямоугольных координат и приводит это уравнение к следующему виду m d2x dt2 X x m d2y dt2 Y y m d2z dt2 Z z 0. 2.12 С точностью до знаков уравнение 2.12 полностью совпадает с современной формой общего уравнения динамики j Fj - mj d2rj dt2 rj 0 2.13 если раскрыть скалярное произведение, то получим уравнение 2.12 за исключением знаков в скобках. Таким образом, продолжая труды Эйлера, Лагранж завершил аналитическое оформление динамики свободной и несвободной системы точек и дал многочисленные примеры, иллюстрирующие практическую мощь этих методов. Исходя из общей формулы динамики , Лагранж указал две основные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы, носящие ныне его имя уравнения Лагранжа первого рода и уравнения в обобщенных координатах, или уравнение Лагранжа второго рода. Что навело Лагранжа на уравнения в обобщенных координатах? Лагранж в своих работах по механике, в том числе и по небесной механике, определял положение системы, в частности, твердого тела различными параметрами линейными, угловыми или их комбинацией. Для такого гениального математика, каким был Лагранж, естественно встала проблема обобщения - перейти к произвольным, не конкретизированным параметрам.

Это и привело его к дифференциальным уравнениям в обобщенных координатах.

Лагранж назвал их дифференциальные уравнения для решения всех проблем механики, теперь мы называем их уравнениями Лагранжа II рода d dt L qj - L qj 0 L T - П . Подавляющее большинство решенных в Аналитической механике задач отражает технические проблемы того времени.

С этой точки зрения необходимо особо выделить группу важнейших задач динамики, объединенные Лагранжем под общим наименованием О малых колебаниях любой системы тел. Этот раздел представляет собой основу современной теории колебаний. Рассматривая малые движения, Лагранж показал, что любое такое движение можно представить как результат наложения друг на друга простых гармонических колебаний.