Векторные обозначения основных величин

Рассмотрим в качестве примера простейшую ферму (рис. 1,а). Для построения дискретной модели необходимо пронумеровать узлы и элементы (стержни). Нумерация выполняется в произвольном порядке. Номера стержней заключены в кружок (рис.1,б). На рис. 1,в показана ферма, расчлененная на отдельные элементы и узлы.

В целях экономии места вектор-столбец будем записывать в виде строки, заключенной в квадратные скобки.

Обозначим продольную силу в стержне буквой N с индексом, равным номеру стержня. За положительную примем растягивающую продольную силу. На узел фермы со сторону стержня будет действовать равная по модулю сила, но противоположенного направления. Величины всех продольных сил объединим в вектор N = [N₁ N₂ … N_m], где m – число стержней фермы.

В качестве степеней свободы системы принимаем горизонтальные и вертикальные перемещения узлов, допускаемые связями. Примем сквозную нумерацию степеней свободы для всей фермы.

Обход узлов рекомендуется делать в порядке возрастания их номеров. При этом в узле сначала нумеруется горизонтальное, а затем – вертикальное перемещение. Узловые перемещения объединим в вектор q = [q₁ q₂ … q_n], где n - число степеней свободы дискретной модели. Очевидно, n = 2У - С_оп, где У - количество узлов фермы, С_оп - количество опорных связей. Перемещения q_i положительны, если они происходят в положительном направлении осей координат Х, Y.

Внешнюю узловую нагрузку спроецируем на координатные оси Х,Y. Из проекций сил Р_ix, P_iy (i – номер узла) составим вектор внешних узловых сил p=[P₁P₂…P_n], компоненты которого по порядку следования соответствуют компонентам вектора q. Для данного примера имеем p = [P 0 0 –P 0].

В результате действия внешней нагрузки стержни фермы изменяют свою длину. Обозначим удлинение i-го стержня Dl_i через d_i и составим вектор удлинений

d = [d₁ d₂ … d_m];

назовем его вектором деформации системы. Вектор d по числу и порядку следования компонент должен быть согласован с вектором N. Скалярное произведение векторов d, N, а также векторов q, p, имеет размерность работы: произведение q^Tp/2 по теореме Клапейрона равно работе внешних сил при нагружении системы, (- d^TN/2) – работе внутренних сил. Знак "т" обозначает операцию транспонирования вектора или матрицы.