Динамика вращательного движения твердого тела.

Динамика вращательного движения твердого тела вокруг центра отвечает динамике движения системы материальных точек вокруг центра [тема 2 п. 2 формулы (2.26), (2.7), (2.34), (2.37)]. Потому что тело твердое, точка приложения силы не имеет существенного значения, существенной есть линия действия силы и в вопросах динамики твердого тела сила является скользящим вектором. Точку приложения силы можно переносить по линии ее действия. Особенностью твердого тела является также та, что благодаря симметрии движения, момент импульса твердого тела, определяемый по формуле (2.34), направлен вдоль оси вращения (рис. 4.1 б). Таким образом, основной закон вращения твердого тела вокруг неподвижного центра определяется соотношением:

, (4.6)

где - результирующий момент внешних сил относительно центра О,. Если этот момент равняется нулю, то момент импульса твердого тела является величиной постоянной, остается неизменным по модулю и по направлению в пространстве, как это следует из закона (4.6) и отвечает закону сохранения момента импульса. Эффект сохранения момента импульса твердого тела в пространстве и во времени используется в гироскопах. Гироскопом называется твердое тело, которое имеет три степени свободы и может быстро вращаться вокруг оси, совпадающей с осью симметрии. Гироскопы используются для хранения пространственного направления.

Уравнение динамики плоскогодвижения можно получить из основного уравнения динамики вращения твердого тела вокруг центра путем его разложения на три составляющих вдоль осей, одна из которых (ось z на рис. 4.2) совпадает с осью плоского движения:

(4.7)

В уравнениях (4.7) величины - геометрические проекции соответствующих величин на оси координат, или соответствующие составляющие векторов. Они называются моментами импульсов тела и моментами сил относительно соответствующих осей. В движении вокруг оси z реакциями этой оси движение вокруг осей x и у запрещено. Поэтому законом плоского движения относительно некоторой фиксированной оси z является соотношение

(4.8)

В законе (4.8) момент импульса тела и моменты сил относительно оси z являются аксиальными векторами и, если нет неотложной потребности в векторном представлении, закон (4.8) может иметь скалярную форму, где вместо векторов используются их модули. Законом плоского движения относительно фиксированной оси z принимает вид:

 

(4.9)

При этом по договоренности, моменты сил, вращающие тело против стрелки часов считаются положительными, а по ходу – отрицательными. Численные значения моментов можно преобразовать, пользуясь особенностями тела и его движения. Действительно (см. рис. 4.3),

где учтено, что и . Таким образом

(4.10)

Физическая величина, определяемая как

(4.11)

и характеризующая инертность материальной точки во вращательном движении (играет роль массы), называется моментом инерции материальной точки. Сумму моментов инерции всех точек тела называют моментом инерции тела относительно оси вращения:

. (4.12)

Потому что точек тела конечных размеров бесконечное множество, сумму в соотношении (4.12) лучше заменить объемным интегралом

(4.13)

Моментом инерции твердого тела относительно оси вращения называют физическую величину, характеризующую инертность тела во вращательном движении и определяющуюся как сумма моментов инерции всех его материальных точек или как объемный интеграл вида (4.13). Величина существенно положительная, скалярная. Во вращательном движении важна не только масса конкретного элемента, но и то, как она расположен по отношению к оси вращения. Измеряется в кгм^2. Иногда, когда это понятно, что речь идет о вращении вокруг оси, эту величину называют просто моментоминерции.

Моменты инерции тел правильной геометрической формы относительно осей симметрии рассчитаны по формуле (4.13). Для некоторых из них эти значения приведены рядом с соответствующими фигурами на рис. 4.4.

Если речь идет о моментах инерции тел относительно произвольных осей, то имеет место теорема Штейнера. Справедливость ее доказывается в курсе теоретической механики. Теорема утверждает: момент инерции тел относительно произвольных осей равняется моменту инерции исследуемого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной данной сложенной с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями

(4.14)

Таким образом, после введения момента инерции выражение (4.10) для момента импульса относительно оси вращения может быть записанным так

или в векторной форме . (4.15)

Размерность момента импульса .

Выражение для момента силы относительно оси вращения можно также видоизменить (рис.4.5). Действительно (см. рис. 4.5 б)

(4.16)

То есть момент равняется произведению проекции силы на касательную к окружности возможного вращения точки приложения сил F_it (она представлена на рис. 4.5 а и б в разных ракурсах) на радиус h_i этой окружности. На рис. 4.5 б точка приложения силы перенесена по линии ее действия таким образом, чтобы она и, соответственно, радиус-вектор лежали в одной плоскости вместе моментом и осью вращения. Можно показать, как это выполняется в курсе теоретической механики, что где проекция силы на плоскость перпендикулярную к оси вращения (рис. 4.5 а), а l_i – плечо силы – кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения. Таким образом, моментом силы относительно оси вращения называется физическая величина, определяющая вращающее действие силы и численно равная произведению проекции силы на плоскость перпендикулярную к оси вращения тела на плечо силы:

(4.17)

После введения момента инерции и уточнений определений моментов импульса и момента силы относительно оси вращения основной закон вращательного движения твердого тела вокруг фиксированной оси принимает форму:

(4.18)

и утверждает, что угловое ускорение, полученное твердым телом во вращении вокруг фиксированной оси вращения прямо пропорциональное результирующему моменту сил, прилагаемых к телу и обратно пропорциональное моменту импульса тела относительно этой оси:

(4.19)

Условия сохранения момента импульса относительно оси вращения выплывают из соотношения (4.18). Если моменты внешних сил относительно оси вращения равняются нулю, то а это означает, что момент импульса тела или сумма моментов импульсов тел, которые вращаются вокруг данной фиксированной оси, сохраняется:

(4.20)

Потому что момент импульса и угловая скорость в рассматриваемом случае можно представлять аксиальными векторами, равенству (4.20) иногда полезно представлять в векторной форме:

(4.21)

Конечно, полученные результаты (4.20) и (4.21) является следствием закона сохранения момента импульса (2.35).

Работа поворота твердого тела вокруг оси под действием силы

(4.22)

Элементарная работа поворота В соответствие с теоремой о кинетической энергии и по закону движения (4.18) робота результирующего момента

(4.23)

Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг оси

(4.24)