Вынужденные колебания - раздел Физика, КРАТКИЙ КУРС ФИЗИКИ Часть 1 В Реальных Условиях Колеблющаяся Система Постепенно Теряет Энергию На Преодол...
В реальных условиях колеблющаяся система постепенно теряет энергию на преодоление сил трения, поэтому колебания являются затухающими. Чтобы колебания были незатухающими, необходимо каким-то образом подводить к колебательной системе энергию, восполняя ее потери.
Предположим, что на колеблющуюся систему действует внешняя (вынуждающая) сила, изменяющаяся по гармоническому закону:
Fвн = F0 cos wt,
где w— циклическая частота, F0 — амплитудное значение силы. Результирующая сила найдётся как сумма
,
где — сила сопротивления, Fупр = -kx — квазиупругая сила. Таким образом,
.
Используя второй закон Ньютона F=maи замечая, что, ,получим
Уравнение (10.1) есть дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Решение этого уравнения будем искать в виде
x=A cos (wt + j),
(10.2)
т.е., мы предполагаем, что система совершает гармонические колебания с частотой, равной частоте колебаний внешней силы.
Для нахождения амплитуды А вынужденных колебаний продифференцируем (10.2) дважды по времени. Имеем:
;
(10.3)
.
(10.4)
Подставляя (10.2) –(10.4) в (10.1), получим:
.
(10.5)
Из выражения (10.5) видно, что в результате сложения двух гармонических колебаний, сдвинутых по фазе на p/2, получается гармоническое колебание с амплитудой F0/mи начальной фазой, равной нулю. Для сложения колебаний используем метод векторных диаграмм. В §8 было показано, что при сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты и одинакового направления результирующая амплитуда может быть найдена по формуле (8.1). В данном случае (см. выражение (10.5)):
;
.
Подставляя эти данные в формулу (8.1), получим:
,
отсюда
(10.6)
Рис. 10.1
Видно, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты внешней периодически действующей силы. При w®0 A®F0/mw0: если же , то А®0; при некотором значении w=wpамплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения — рис. 10.1.
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней периодически действующей силы стремится к резонансной, называется резонансом. Частота wp, при которой наступает резонанс, называется резонансной.
Значениеwp можно найти из условия, что приw =wp амплитуда A=max.
Это условие выполняется, если подкоренное выражение в (10.6) при w=wp будет минимальным. Это означает, что первая производная по частоте от подкоренного выражения равна нулю:
.
Отсюда:
.
(10.7)
Из (10.7) видно, что резонанс наблюдается при частоте, меньшей, чем частота собственных колебаний системы.
Важной характеристикой резонансной кривой является её ширина, т.е. интервал частотDw вблизи от резонанса, в пределах которого A0,7Ap. Можно показать, что ширина резонансной кривой однозначно связана с коэффициентом затухания bсоотношением Dw=b, что позволяет определять этот важный параметр колебательной системы по графику зависимостиA(w).
Министерство образования и науки Украины... Одесская национальная морская академия...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Вынужденные колебания
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Основные единицы СИ
В настоящее время общепринятой является Международная система единиц — СИ. Эта система содержит семь основных единиц: метр, килограмм, секунда, моль, ампер, кельвин, кандела и две дополнительные —
I. МЕХАНИКА
Механика — наука о механическом движении материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между ними.
Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного пол
Законы Ньютона
Динамика — раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под воздействием приложенных к ним сил. В основе механики лежат законы Ньютона.
Первый закон Ньютона
Закон сохранения импульса
Рассмотрим вывод закона сохранения импульса на основе второго и третьего законов Ньютона.
Закон сохранения механической энергии
Рассмотрим замкнутую консервативную систему тел. Это означает, что на тела системы не действуют внешние силы, а внутренние силы по своей природе являются консервативными.
Полной механическ
Соударения
Рассмотрим важный случай взаимодействия твёрдых тел — соударения. Соударением (ударом) называется явление конечного изменения скоростей твёрдых тел за весьма малые промежутки времени при их непо
Закон сохранения момента импульса
Рассмотрим изолированное тело, т.е. такое тело на которое не действует внешний момент сил. Тогда Mdt = 0 и из (4.5) следует d(Iw)=0, т.е. Iw=const. Если изолированная система состоит
Гироскоп
Гироскопом называется симметричное твёрдое тело, вращающееся вокруг оси, совпадающей с осью симметрии тела, проходящей через центр масс, и соответствующей наибольшему собственному моменту инерции.
Энергия гармонического колебания
Рассмотрим теперь на примере пружинного маятника процессы изменения энергии в гармоническом колебании.
Очевидно, что полная энергия пружинного маятника W=Wk+Wp, где кинетическая
Сложение гармонических колебаний одинакового направления
Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний одинакового направления, значительно облегчается, если изображать колебания графически, в виде векторов на плоскости. Полученная та
Затухающие колебания
В реальных условиях в системах, совершающих колебания, всегда присутствуют силы сопротивления. В результате система постепенно расходует свою энергию на выполнение работы против сил сопротивления и
Упругие (механические) волны
Процесс распространения возмущений в веществе или поле, сопровождающийся переносом энергии, называется волной.
Упругие волны — процесс распространения в упругой среде механически
Интерференция волн
Интерференцией называется явление наложения волн от двух когерентных источников, в результате которого происходит перераспределение интенсивности волн в пространстве, т.е. возникают интерференци
Стоячие волны
Частным случаем интерференции является образование стоячих волн. Стоячие волны возникают при интерференции двух встречных когерентных волн с одинаковой амплитудой. Такая ситуация может возни
Эффект Допплера в акустике
Звуковыми волнами называют упругие волны с частотами от 16 до 20000 Гц, воспринимаемые органами слуха человека.
Звуковые волны в жидких и газообразных средах являются продольными. В твёрды
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
Рассмотрим в качестве простейшей физической модели идеальный газ. Идеальным называется такой газ, для которого выполняются следующие условия:
1) размеры молекул настолько малы, ч
Барометрическая формула
Рассмотрим поведение идеального газа в поле силы тяжести. Как известно, по мере подъёма от поверхности Земли давление атмосферы уменьшается.
Найдём зависимость давления атмосферы от высоты
Распределение Больцмана
Выразим давление газа на высотах h иh0 через соответствующее число молекул в единице объёмап ип0, считая, что на разных высотахT=const:
P =
Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам
Первое начало термодинамики — это обобщение закона сохранения энергии с учётом тепловых процессов. Его формулировка: количество теплоты, сообщённое системе, расходуется на выполнение работы
Число степеней свободы. Внутренняя энергия идеального газа
Числом степеней свободы называется число независимых координат, которыми описывается движение тела в пространстве. Материальная точка имеет три степени свободы, поскольку при её движении в п
Адиабатный процесс
Адиабатным называется процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой.
В адиабатном процессеdQ = 0, поэтому первое начало термодинамики применительно к этому процессу прин
Второе начало термодинамики
Первое начало термодинамики, которое является обобщением закона сохранения энергии с учётом тепловых процессов, не указывает на направленность протекания различных процессов в природе. Так, первое
Энтропия
Введём теперь новый параметр состояния термодинамической системы — энтропию, которая принципиально отличается от других параметров состояния направленностью своего изменения. Элементарное измене
Энергия электростатического поля
Найдём вначале энергию заряженного плоского конденсатора. Очевидно, что эта энергия численно равна работе, которую нужно совершить, чтобы разрядить конденсатор.
Основные характеристики тока
Электрическим током называется упорядоченное (направленное) движение заряженных частиц.
Сила тока численно равна заряду, прошедшему через поперечное сечение проводника за единицу
Закон Ома для однородного участка цепи
Однородным называется участок цепи, не содержащий источника ЭДС.
Ом экспериментально установил, что сила тока на однородном участке цепи пропорциональна напряжению и обратно пропорц
Закон Джоуля - Ленца
Джоуль и независимо от него Ленц экспериментально установили, что количество теплоты, выделенной в проводнике с сопротивлением R за время dt, пропорционально квадрату силы тока, сопротивлен
Правила Кирхгофа
Рис. 39.1
Для расчёта сложных цепей постоянного тока применя
Контактная разность потенциалов
Если два разнородных металлических проводника привести в контакт, то
электроны получают возможность переходить из одного проводника в другой и обратно. Равновесное состояние такой системы
Эффект Зеебека
Рис. 41.1
В замкнутой цепи из двух разнородных металлов на г
Эффект Пельтье
Второе термоэлектрическое явление — эффект Пельтъе состоит в том, что при пропускании электрического тока через контакт двух разнородных проводников в нём происходит выделение или поглощени
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов