Реферат Курсовая Конспект
Понятие предела функции - Лекция, раздел Механика, РАЗДЕЛ 1. Дифференциальное исчисление Понятие Предела Является Фундаментальным В Математическом Анализе. С Его Помо...
|
Понятие предела является фундаментальным в математическом анализе. С его помощью вводятся понятия производной, интеграла, непрерывности и т.д.
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности X точки a, кроме, быть может, самой точки a.
Определение 1(определение по Коши): Число b называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого числа ε > 0, которое может быть сколь угодно малым, существует окрестность точки а, в которой при всех допустимых значениях x ≠ a выполняется |f(x) – b| < ε.
Точка а – точка прикосновения множества D (допустимых значений x), т.е. точка, в любой окрестности которой находятся значения x, кроме, быть может, самой точки a.
Другая формулировка определения предела: Число b называется пределом функции f(x) в точке а (при х®а), если для любого сколь угодно малого ε > 0 существует такое зависящее от ε число δ(ε)>0, что при всех х ≠ a, удовлетворяющих условию 0 < |х – а| < δ, выполняется неравенство |f(x) – b| < ε.
Запись определения предела с помощью логических символов (кванторов):
Здесь: - символ равносильности; символ - вместо фразы «для любого», - «найдется (существует)», : - «такое, что».
Геометрический смысл предела функции в точке a (рис.1).
Рис.1
Построим график функции у = f(x), точки х = а, у = b (рис.1). Возьмем произвольное сколь угодно малое число ε > 0 и построим на оси OY ε-окрестность относительно числа b: (b-ε; b+ε) и проведем прямые у = b + ε, у = b – ε. Число b будет пределом функции f(x) при х®а, если на оси ОХ найдется такая δ-окрестность точки а (a-δ; a+δ), при попадании в которую значений аргумента х часть графика функции f(x) попадает внутрь полосы, ограниченной ε-окрестностью числа b.
При уменьшении числа ε интервал (b-ε; b+ε) будет стягиваться к числу b. Соответствующий ему интервал (a-δ; a+δ) будет стягиваться к числу a. Это и доказывает, что .
Дадим в общих словах понятие предела функции непрерывного аргумента у=f(х) в точке a.
Пределом функции f(х) называется число b, к которому она стремится при стремлении аргумента x к числу a, если значения f(х) сколь угодно близко приближаются к числу b, когда значения переменной x сколь угодно близко приближаются к числу a.
Обозначение предела: .
В этом определении рассматриваются значения x, сколь угодно близкие к числу a, но не совпадающие с a. Это означает, что точка a имеет δ-окрестность малой величины такую, что 0<|х-а|<δ.
Проиллюстрируем понятие предела функции на примере.
Пример 1. Рассмотрим функцию f(х)=х2. Нужно узнать, к чему стремится (не равна!) функция при x → 2.
Запишем предел: и посмотрим на график (рис.2). Проведем параллельно 0Y линию через точку 2 на оси 0X. Она пересекает график в точке М(2; 4). Опустив из этой точки на ось 0Y перпендикуляр, получим значение 4. К этому числу и стремится функция f(х)=х2 при x → 2. Заметим, что для нахождения предела необходимо просто подставить в функцию f(х)=х2 значение 2 и ответ будет таким же.
Рис.2
Пример 2. Доказать, что .
Решение. Функция f(x)=2х+1 определена всюду (на всей числовой оси), включая точку a=1, в которой f(1)=3.
Согласно определению |f(x)-b|<ε, рассмотрим для любого ε > 0 неравенство |(2х+1) - 3| < ε (здесь b=3).
Оно эквивалентно неравенству |2(х - 1)| < ε или |х - 1| < ε/2.
Таким образом, для любого ε > 0 существует такое число δ=ε/2 (для ε = 0,1 δ=0,05; для ε = 0,01 δ=0,005 и т.д.), что для всех х ≠ 1 и удовлетворяющих условию |х - 1| < δ=ε/2 будет справедливо неравенство |f(x) - 3| = |(2х+1) - 3| < ε. Это и означает, что .
Пример 3. Доказать, что .
Решение. Функция f(x)=х+1 определена всюду, включая точку a=2, в которой f(2)=3.
Согласно определению |f(x)-b|<ε, рассмотрим неравенство
|(х+1) - 3| < ε или |х - 2| < ε. Таким образом, для любого ε > 0 можно взять δ=ε. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству |х - 2| < δ, будет справедливо неравенство |(х+1) - 3| = < ε. Это и означает, что .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Лекции и Предел функции Понятие предела функции Пусть функция... Свойства бесконечно больших величин... Произведение бесконечно большой величины на функцию имеющую ненулевой предел бесконечно большая величина...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Понятие предела функции
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов