Лекция 4. - раздел Механика, Курс лекций по физике. Механика 2.4. Динамик...
2.4. Динамика колебательного движения
Рассмотрим динамику колебательного движения на примере колебания груза массой m, подвешенного к пружине (рис 2.6). В состоянии равновесия, сила тяжести груза уравновешивается силой упругости пружины . Для выбранного направления оси х:
,
Fупр =mg,
где Fупр = kΔl (закон Гука), Δl=l-l0 , l0 – длина пружины без груза.
Выведем груз из положения равновесия и дадим ему возможность двигаться вдоль оси Х. Под действием сил тяжести и упругости груз будет совершать движение с ускорением а согласно уравнениям:
(2.16)
Введём обозначение , тогда
. (2.17)
Равенство (2.17) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний. Координата смещения груза относительно его положения равновесия, определяется из решения уравнения (2.17) и равна
(2.18)
где А – амплитуда (максимального смещения груза от положения равновесия),
- циклическая частота, - фаза колебания,- начальная фаза колебания.
Период колебания
(2.19)
частота . (2.20)
Если груз колеблется в среде, то он испытывает ее сопротивление.
При малых смещениях груза от положения равновесия сила сопротивления
, (2.21)
где r– коэффициент сопротивления. Среды, v – скорость движения груза
С учетом силы сопротивления дифференциальное уравнение движения груза имеет вид
. (2.22)
Разделим обе части уравнения (2.22) на m, перенесем все слагаемые умножим на 1 в левую часть и введем обозначения ,, тогда
(2.23)
где - коэффициент затухания.
В результате решения дифференциального уравнения (2.23) координата смещения груза
(2.24)
где и - амплитуда колебаний и фаза в момент времени t=0,
Затухающие колебания не являются гармоническими, так как амплитуда этих колебаний убывает по экспоненциальному закону
. (2.25)
Циклическая частота ω и период Т затухающих колебаний определяются из соотношений:
, (2.26)
(2.27)
где ω0 частота свободных колебаний тела.
Период определённый из последнего соотношения называется условным периодом затухающих колебаний.
Условный период затухающих колебаний – наименьший промежуток времени Т, за который груз дважды проходит через положение равновесия, двигаясь в одном и том же направлении.
Период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний.
Отношение двух амплитуд затухающих колебаний в моменты времени t и
(2.28)
называется декрементом затухания. Натуральный логарифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания
(2.29)
Логарифмический декремент затухания характеризует затухание колебаний за период, а коэффициент затухания за единицу времени.
Время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз называется временем релаксации τ.
,
(2.30)
Коэффициент затухания – это величина, обратная времени релаксации и определяет число колебаний за единицу времени.
За время τ система совершит колебаний.
Логарифмический декремент затухания равен обратному числу колебаний, совершаемых системой за время релаксации.
(2.31)
Если на груз, кроме упругой силы и силы сопротивления, будет действовать внешняя периодическая сила, то он будет совершать вынужденные колебания.
При внешней силе дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид
, (2.32)
В результате решения дифференциального уравнения (2.32) координаты смещения груза х = х1 + х2,
где - соответствует затухающему колебанию,
- вынужденному.
Затухающие колебания происходят в начальный момент времени и их амплитуда уменьшается с течением времени.
Поэтому в результате действия внешней периодической силы долгое время совершаются колебания
(2.33)
где , (2.34)
(2.35)
Амплитуда колебаний зависит от частот внешней силы Ω и свободных колебаний ω0.
Для Ω << ω0,
, (2.36)
Ω >> ω0,
, (2.37)
.
Для частоты внешней силы
(2.38)
наступает резонанс, когда амплитуда максимальна и зависит от коэффициента затухания и частоты свободных колебаний
Понятия и определения
Механика – изучает движение тел в пространстве с течением времени.
Движение без учета сил действующих на тело, рассматривается в кинематике, а с учетом их в динамике.
Вращательное движение
Рассмотрим движение м.т. по окружности радиусом R с постоянной линейной скоростью в
Колебательное движение
Движение будет колебательным, если его кинематические характеристики повторяются с течением времени.
Если движение тела повторяется через равные промежутки времени, то оно называется перио
Сложение гармонических колебаний
Материальная точка может участвовать одновременно в нескольких колебательных движениях. Сложить два или несколько колебаний – значит найти закон, которому подчиняется результирующее движение, найти
Законы Ньютона.
При изучении движения тел в пространстве важно выбрать такую систему отсчета, в которой бы перемещение тела в отсутствии действия на него сил происходило равномерно и прямолинейно.
Ньютон,
Динамика поступательного движения тела
Твёрдое тело (ТТ) – это тело, которое не деформируется при действии на него сил. Масса ТТ представляется в виде суммы материальных точек связанных между собой внутренними сил
Динамика вращательного движения
При вращательном движении ТТ все его точки движутся по окружностям с центрами на оси вращения ( рис. 2.3).
Угловые
Для самостоятельного изучения
2.6.1. Понятие силы. Равнодействующая сила
Сила – это векторная величина, характеризующая взаимо
Силы трения
Силы трения возникают в результате взаимодействия движущихся и покоящихся тел, соприкасающихся друг с другом.
Различают внешнее (с
Сила вязкого трения и сопротивления среды.
Сила вязкого трения возникает между слоями одного и того же сплошного тела (жидкости или газа). Сила вязкого трения зависят от отно
Деформация стержня
Стержень длинной l0 и сечением S при действии сил и перпендикул
Энергия колебательного движения
В процессе колебаний тела или системы тел происходят периодические переходы его кинетической энергии в потенциальную и потенциальной в кинетическую.
Кинетическая энергия
Потенциальная энергия пружины
Внешняя сила, сжимая или растягивая пружину, совершает работу. Освобожденная от внешнего воздействия, пружина восстанавливает свою форму, а потенциальная энергия, запасенная пружиной в процессе деф
Потенциальный барьер и яма
Потенциальная энергия может быть представлена графически. График, выражающий зависимость потенциальной энергии от соответствующей коорди
Для самостоятельного изучения
4.4.1. Применение законов сохранения к упругому и неупругому соударению двух тел.
При соударении тела деформируются. При
Продольные и поперечные волны
Если какую-либо частицу или совокупность частиц упругой среды привести в колебательное движение, то колебания не останутся локализованными в том месте, где они возникли, а благодаря взаимодействию
Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение.
Уравнение волны позволяет найти смещение s любой частицы среды от ее положения равновесия. Смещение зависит от координат частицы и времени s(x, y, z, t) и является периодической функцией.
Размеры и масса молекул
Вещество в молекулярной физике рассчитывается как совокупность гигантского количества атомов и молекул.
Молекулы движутся х
Движение и столкновение молекул газа
В газе молекулы перемещаются, испытывая соударения друг с другом. При каждом соударении скорость молекулы изменяется по величине и по напра
Давление и температура.
Вещество может находиться объеме, при температуре Т и давление Р. Эти три величины, характеризующие состояние вещества, называются параметрами состояния.
Давление P — это с
Диффузия, внутреннее трение, теплопроводность.
В газе находящимся в объеме всегда имеется неоднородность плотности, давления, температуры. Хаотическое движение молекул постепенно выравнивает эту неоднородность, и газ приходит в состояние равнов
Давление идеального газа на стенку
Давление газа в сосуде определяется взаимодействием его молекул со стенкой. Выделим на поверхности стенки сосуда достаточно малую площадку
Уравнение состояния идеального газа
Опытным путем было получено отношение, которое равно постоянной велечине.
При условии, что газ имеет Р = 1,01∙105
Работа и теплопередача
Обмен энергией между (ТС) и окружающими ее телами может проходить в двух формах: макроскопической (в форме работы) и микроскопической (в форме теплопередачи, или теплооборота).
Работа
Изменение энтропии в изопроцессах
Пусть система совершает процесс с изменением термодинамической вероятности указанной на рис. 8.9.
Состояние системы с термодинамической вероятностью W1 в начальный момент времен
Второе начало термодинамики
Приведем наиболее простую формулировку второго начала термодинамики: тепло не может переходить самопроизвольно холодных тел к горячим. Это утверждение многократно подтверждается в нашей практике, в
Динамика
· Свободное тело - тело, на которое не действуют какие-либо другие тела.
· Инерциальная система отсчета- система отсчета, в которой свободное тело покоитс
Новости и инфо для студентов