Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращением вокруг неподвижной оси называют такое движение твердого тела, при котором две какие-либо точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными. Прямую, проходящую через эти точки, называют осью вращения тела. Перемещение тела из одного положения в другое называют поворотом. Все точки тела, лежащие на оси вращения, неподвижны. Все точки, не лежащие на оси вращения, описывают окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры расположены на оси.

Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы, так как его положение в пространстве в любой момент времени полностью определяется одним независимым параметром – плоским углом j между двумя плоскостями: неподвижной и подвижной, жестко связанной с вращающимся телом (рис. 2.1). Этот угол называют угломповорота тела и измеряют в радианах. При этом принято считать угол поворота j положительным, если поворот тела, наблюдаемый с положительного направления оси Оz, виден происходящим против хода часовой стрелки.

Таким образом, закон вращательного движения можно считать установленным, если задан угол поворота тела как функция времени

. (2.6)

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения тела в целом являются угловая скорость и угловое ускорение. Угловая скорость тела – это векторная величина, характеризующая интенсивность и направление изменения угла поворота тела.

Алгебраическое значение угловой скорости равно первой производной по времени от угла поворота тела

. (2.7)

Угловое ускорение тела – это векторная величина, характеризующая интенсивность изменения угловой скорости. Алгебраическое значение углового ускорения равно первой производной по времени от угловой скорости тела или второй производной по времени от угла поворота тела

. (2.8)

Размерность угловой скорости в системе СИ – рад/с, размерность углового ускорения – рад/с². Число оборотов тела N и число оборотов в минуту n связаны с углом поворота j(t) и угловой скоростью следующими зависимостями:

j = 2pN рад;

рад/с.

Установим зависимости между общими кинематическими характеристиками вращательного движения тела в целом, а также скоростями и ускорениями различных точек этого тела. Траекториями точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, радиусы которых равны расстояниям от этих точек до оси вращения. Применяя естественный способ задания движения точки тела и учитывая, что , где h – расстояние от точки до оси вращения тела (см. рис. 2.1), для скорости и ускорения точки М запишем

(2.9)

(2.10)

(2.11)

где v – алгебраическое значение скорости точки М; и – алгебраические значения составляющих полного вектора ускорения этой точки. Здесь величины и соответствуют касательному и нормальному ускорениям точки, однако, при изучении вращательного движения их принято называть вращательным ускорением () и осестремительным или центростремительнымускорением (). Определим модуль полного вектора ускорения точки

. (2.12)

Из приведенных формул видно, что скорости, ускорения и составляющие ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, пропорциональны расстояниям от точек до оси вращения тела.

Приведем также векторные формулы, описывающие кинематические характеристики тела и его точек (см. рис. 2.1), для чего введем векторы угловой скорости и углового ускорения

(2.13)

где – единичный вектор оси, совпадающий по направлению с положительным направлением оси вращения тела; и – величины, имеющие смысл проекций векторов угловой скорости и углового ускорения на ось вращения тела. Таким образом, вектор угловой скорости располагается на оси вращения и направлен так, что с его вершины вращение тела наблюдается против стрелки часов. Вектор углового ускорения тоже располагается на оси вращения. Если знаки и совпадают, то он направлен так же, как и вектор угловой скорости (вращение ускоренное), а в противном случае – противоположно вектору угловой скорости (вращение замедленное).

Скорость и ускорение точки тела определим по формулам:

(2.14)

где – радиус-вектор точки, проведенный из любой точки на оси вращения тела, знак «» означает векторное произведение.

Вращение называютравномерным,если в процессе движения угловая скорость остается постоянной по модулю и по направлению, т.е., если . Умножив правую и левую части этого равенства на величину dt и проинтегрировав левую часть полученного равенства в пределах от до φ, а правую – от 0 до t, получимзакон равномерного вращения:

.(2.15)

Вращение называют равнопеременным, если угловое ускорение тела в процессе движения остается постоянным по модулю и направлению, т.е., если . Чтобы найти закон изменения угловой скорости в этом случае, проинтегрируем левую часть равенства пределах от до , а правую часть – от 0 до t:

. (2.16)

Так как , то полученное выражение запишем в следующем виде . Интегрируя это выражение при изменении угла поворота от до и времени от 0 до t, запишемзакон равнопеременного вращения:

.(2.17)