Реферат Курсовая Конспект
УРАВНЕНИЕ ДИРАКА - раздел Электроника, ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ Произвольная Волновая Функция, Подчиняющаяся ...
|
Произвольная волновая функция, подчиняющаяся уравнению Дирака, может быть представлена в виде разложения по найденным частным решениям:
y (r,t) = .
Рассмотрим нерелятивистский предел
v << c: p2 << m2c2, ep » mc2.
В функции w+l(p) с положительной энергией имеем:
и ее нижние компоненты (v) гораздо меньше верхних компонентов (u). Аналогично для функции w-l(p) с отрицательной энергией получим
т.е. здесь малыми являются верхние компоненты (u).
Кроме того, всегда при l1 ¹l2
= 0.
Действительно,
.
Из уравнения непрерывности следует, что суммарная вероятность не зависит от времени, т.е. она постоянна. Вспоминая, что
r = y+y,
запишем это условие как
{w+l+(p) w+l(p) + w-l+(p) w-l(p)} = const.
(все перекрестные члены обращаются в нуль). Первое слагаемое - вероятность найти частицу с положительной энергией, второе - с отрицательной энергией. Видим, что сохраняется только сумма этих вероятностей. Поэтому состояния с отрицательными энергиями нельзя просто выбросить - сразу нарушится вероятностная интерпретация.
Но состояния с отрицательными энергиями очень нехороши с физической точки зрения, так как частица может самопроизвольно перейти из состояния с Е1=-ep1 в состояние с Е2=-ep2, где ep2>ep1. При этом выделится «даровая» энергия
DЕ = Е1 - Е2 = ep2 - ep1 > 0.
Мало того, частицы из физических состояний с положительными энергиями могут под действием сколь угодно слабого поля перескочить через «энергетическую щель» шириной 2mc2 и попасть в область отрицательных энергий, также поставляя даровую энергию (это называется парадоксом Клейна).
Чтобы избавиться от этих неприятностей, Дирак ввел представление о вакуумном фоне. Она базируется на таких положениях.
1. Описываем систему фермионов, а они подчиняются принципу Паули (в каждом состоянии не более одной частицы).
2. Вакуум - состояние, в котором все уровни с отрицательными энергиями заняты, а с положительными энергиями свободны.
3. Для любой динамической величины измеряема только разность ее значений в рассматриваемом состоянии и в вакуумном состоянии.
Таким образом, дираковский вакуум - это состояние с бесконечным числом частиц, с энергией - µ (и с зарядом - µ, если частицы - электроны).
При нормировке волновых функций неудобно иметь дело с непрерывной переменной p. Поэтому разобьем все пространство на ячейки с размерностями L, и на границах ячеек наложим периодические граничные условия. Величина L должна быть такой, чтобы нарушение лоренц-инвариантности было незначительным. Тогда интеграл по p заменится суммой по дискретным значениям p, и постоянство вероятности запишется как
{w+l+(p) w+l(p)+ w-l+(p) w-l(p)} = C.
Будем считать, что функции w+l описывают модель N невзаимодействующих частиц, т.е. как бы одна частица N раз повторяется. Нормируем волновую функцию условием С=N. Тогда величина
w+l+(p)w+l(p)
будет средним числом частиц, имеющих определенные значения Е=ep, p, l (l - значение спиновой переменной), так что
w±l+w±l º N±(p).
Введем число частиц в системе N, равное
N ={N-l(p)+ N+l(p)}.
Для энергии, точнее, для ее среднего значения, получим
Е = ep{N+l(p) + N-l(p)}
(строго это получается из того, что оператором энергии формально можно считать оператор , который, действуя на волновые функции «вышибает» из каждой экспоненты или ep, или - ep). Таким образом, энергия не является положительно определенной величиной. Это есть цена, которую мы заплатили за положительную определенность плотности вероятности. В состоянии вакуума
N-l(p) = 1, N+l(p) = 0,
так что
N0=.
Для физических значений числа частиц и энергии имеем:
Nфиз = N - N0 = {N+l(p) - [1 -N-l(p)]}
и
Ефиз = Е - Е0 = ep{N+l(p) + [1 - N-l(p)]}.
Так как N-l(p)£1 (оно равно 0 или 1), то Ефиз>0. Более того, величина Nфиз сохраняется. Введем
l(p) º1-N-l(p).
Это есть среднее число дырок в вакуумном фоне. Введем также число частиц с положительными энергиями над вакуумным фоном
Nl(p) º N+l(p).
Тогда получим
Ефиз = ep{Nl(p) + l(p)}.
Поэтому l(p) можно интерпретировать как число реальных микрообъектов, имеющих нормальную (положительную) энергию. Иными словами, каждую дырку в вакуумном фоне можно интерпретировать как реальный микрообъект. Он называется античастицей.
Но и здесь «вытащили хвост, нос увяз». В новой нормировке число частиц оказывается таким:
Nфиз = {Nl(p) - l(p)}.
Что означает второе отрицательное слагаемое? Пока ничего. Но припишем каждой частице заряд е. Тогда полный заряд будет
Q = eN = e{N+l(p) + N-l(p)}.
Наблюдать же будем разность над фоном
Qфиз = Q - Q0 = Q - eN0 = e{Nl(p) - l(p)}.
Видим, что античастицы дают отрицательный вклад в заряд, а потому каждый из них естественно приписать заряд не е, а -е. Тогда это будет записываться как
Qфиз = {eNl(p) + (-e) l(p)},
и все хорошо. Уравнение непрерывности
+ divj= 0
теперь следует интерпретировать как закон сохранения заряда
+ divje = 0,
где
rе = е(r - r0), je = ej.
Допускает интерпретацию и сохранение величины
Nфиз = {Nl(p) - l(p)}.
Сохраняется не число частиц, а разность между числом частиц и античастиц. Это провозвестник законов сохранения барионного и лептонного зарядов, широко используемых в физике элементарных частиц.
Итак, вычитание вакуумного фона равнозначно просто перенормировке энергии Е (сдвигу начала отсчета). Но следует заметить, что вычитаем-то мы
1 = ¥,
т.е. бесконечную величину. Так что, с математической точки зрения корректность всего этого под большим сомнением (сравн. с электродинамикой, где рассматривались радиационное трение и перенормировка массы). В действительности у нас нет взаимодействия, поэтому частицы с ep и -ep не переходят друг в друга (хотя смотр. замечание выше о парадоксе Клейна). Поэтому вероятности сохраняются для обоих видов частиц по-отдельности. Всякое включение взаимодействия будет изменять числа частиц ep и -ep . Дырочная теория не является полностью последовательной для релятивистских частиц. Тут получается так. За счет взаимодействия частица с ep может занять дырку тоже с положительной энергией. Но дырка на фоне вакуума, как договорились, есть античастица с положительной энергией. Поэтому получается аннигиляция пары частица - античастица с высвобождением, например, фотонов. Наоборот, при действии фотона на вакуум частица с - ep может стать частицей с ep, а образовавшаяся дырка есть античастица - родилась пара: частица - античастица.
Однако, вернемся к более земным вещам. И рассмотрим частицу со спином , поведение которой описывает уравнение Дирака
,
где в явной форме записи
.
Рассмотрим оператор орбитального момента
,
у которого третий компонент есть
.
Найдем его коммутатор с гамильтонианом:
Таким образом, компоненты вектора орбитального момента не коммутируют с гамильтонианом:
¹0, j = 1, 2, 3,
а потому не сохраняется.
Но полный момент импульса для свободной частицы должен сохраняться в силу изотропии пространства. Поэтому - не полный момент, а есть еще что-то. Это что-то, конечно, спин, и полный момент есть
.
Тогда из будет следовать
;
в частности,
.
Оператор не действует на r, а потому оператор должен быть матрицей. Значит, он должен выражаться через aj и b. Наша цель - как раз в том, чтобы получить выражение для спиновых операторов.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ... Продолжение УРАВНЕНИЕ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: УРАВНЕНИЕ ДИРАКА
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов