Волновая функция системы микрочастиц

Квантовая механика системы микрочастиц строится путем обобщения основных понятий и законов механики одной частицы. Состояние системы описывается волновой функцией:

Ψ = Ψ(х₁, х₂,…, х_N , t),

где х_i совокупность трех координат точки пространства, в которой может оказаться i – тая микрочастица.

Вероятность того, что частица находится в элементе объема около точки с координатами х₁, у₁, z₁ и одновременно с этим частица в элементе объема около точки с координатами определяется формулой:

.

Таким образом, речь идет о конфигурации системы, т.е. того или иного расположения частиц в заданный момент времени.

Следует помнить, что координаты x_i, y_i, z_i не есть координаты i – той частицы – это координаты любой точки пространства, но относятся они к описанию i – той частицы, к нахождению ее места в общей конфигурации системы.

Обычный вид имеет условие нормировки:

.

Этот интеграл 3N кратный.

В механике системы частиц используют операторы, относящиеся к отдельным частицам, например, оператор координаты , оператор импульса и другие. Такие операторы можно назвать одночастичными. При умножении на волновую функцию каждый одночастичный оператор действует только как оператор своей частицы. Поэтому операторы, относящиеся к разным частицам, коммутируют между собой.

Операторы величин, характеризующих систему в целом, найдем по принципу соответствия с классической механикой.

Оператор импульса системы имеет вид: .

Оператор момента импульса системы определяется как сумма .

Оператор Гамильтона для системы взаимодействующих частиц, находящихся во внешнем поле,

.

Первое слагаемое есть кинетическая энергия частиц, второе – потенциальная энергия их во внешнем поле, третье – потенциальная энергия их взаимодействия друг с другом.

Уравнение Шредингера для системы имеет тот же вид, что и для одной частицы:

.

На систему микрочастиц распространяются все постулаты, записанные для одной частицы (стационарные состояния, законы сохранения физических величин, допустимые значения физических величин, вероятности отдельных значений, принцип суперпозиций и правило вычисления средних).

В системе необходимо учитывать спин частиц. Используются операторы спина отдельных частиц и вводится оператор спина системы:

.

Если частицы в системе не взаимодействуют, то оператор Гамильтона для системы имеет вид:

,

где .

Операторы можно назвать одночастичными операторами Гамильтона.

Внешние поля предполагаются стационарными, поэтому энергия системы сохраняется. Ее волновая функция равна произведению координатного и временного множителей:

.

Для нахождения функций ψ(х₁,х₂,…,х_N) нужно решить уравнение Шредингера без времени

или

. (9.1)

Одночастичные операторы Гамильтона действуют только на координаты i-той частицы. Поэтому переменные в уравнении (9.1) разделяются. Выполним подстановку:

 

. (9.2)

Получаем

,

разделим на ψ₁ψ₂…ψ_N

.

 

Подставим энергию системы Е в виде слагаемых, имеющих смысл энергии отдельных частиц. Значения последних находятся из уравнений:

, (9.3)

на которые распадается уравнение (9.1).

Решив уравнение (9.3), мы найдем уровни энергии и волновые функции для каждой частицы. Каждый уровень и каждая функция определяется некоторым набором квантовых чисел, обозначающихся через n_i (например, для электрона в кулоновском поле набор представляет совокупность четырех чисел: n, , m, m_s). Индекс i дает номер частицы, к которой относится набор.

Итак, для системы:

 

- функция состояния системы невзаимодействующих частиц находится как произведение одночастичных функций.

Можно показать, что четность состояния системы частиц равна произведению четностей состояния отдельных частиц:

.

Если частицы в системе одинаковы, например, это электроны, то все уравнения (9.3) имеют один и тот же вид. Это означает, что спектр функций состояния и уровней энергии один и тот же для всех частиц. Квантовые состояния системы можно получить, составляя различные комбинации по N – одночастичных состояний. Все эти состояния определяются выборками по N из бесконечного числа наборов квантовых чисел n, определяющих состояние одного электрона в некотором поле.